Encontre f.
42. f^prime prime(t)=3 / raizt, f(4)=20, f^prime(4)=7

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a função . A gente sabe que a segunda derivada de , que é , é igual a . Além disso, temos duas condições: e . Para resolver isso, vamos usar cálculo, especificamente a integração, porque queremos voltar de para .

Passo 2

Primeiro, vamos integrar f'(t) = integral 3raizt , dt para encontrar a primeira derivada, f'(t) = 3 cdot 2t^1/2 + C1 = 6raizt + C1 . A integração de fica assim:
Sabemos que , então:
Aqui, é a constante de integração que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos usar a condição 7 = 6raiz4 + C1 7 = 6 cdot 2 + C1 7 = 12 + C1 C1 = 7 - 12 C1 = -5 para encontrar f'(t) = 6raizt - 5 . Substituindo na expressão de :
Então, a expressão para fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar f(t) = integral (6raizt - 5) , dt para encontrar f(t) = 6 integral t^1/2 , dt - 5 integral dt :
f(t) = 6 cdot 23t^3/2 - 5t + C2 f(t) = 4t^3/2 - 5t + C2
Separando as integrais:
Sabemos que e , então:
Aqui, é outra constante de integração que precisamos encontrar.

Passo 5

Vamos usar a condição 20 = 4(4)^3/2 - 5 cdot 4 + C2 20 = 4 cdot 8 - 20 + C2 20 = 32 - 20 + C2 20 = 12 + C2 C2 = 20 - 12 C2 = 8 para encontrar f(t) = 4t^3/2 - 5t + 8 . Substituindo na expressão de :
Então, a expressão final para é:

Resposta

A função f(t) = 4t^3/2 - 5t + 8 é dada por:

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