Encontre .
42.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a função . A gente sabe que a segunda derivada de , que é , é igual a . Além disso, temos duas condições: e . Para resolver isso, vamos usar cálculo, especificamente a integração, porque queremos voltar de para .

Passo 2

Primeiro, vamos integrar para encontrar a primeira derivada, . A integração de fica assim:
Sabemos que , então:
Aqui, é a constante de integração que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos usar a condição para encontrar . Substituindo na expressão de :
Então, a expressão para fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar para encontrar :
Separando as integrais:
Sabemos que e , então:
Aqui, é outra constante de integração que precisamos encontrar.

Passo 5

Vamos usar a condição para encontrar . Substituindo na expressão de :
Então, a expressão final para é:

Resposta

A função é dada por:

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Calcule a integral dupla:
Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral: