Os pontos (-1,3) e(0,2) estão numa curva e em qualquer ponto (x, y) da curva d^2 yd x^2=2-4 x. Ache uma equação da curva. (Sugestão: faça d^2 yd x^2=d y^primed x e obtenha uma equação envolvendo y^prime, x e uma constante arbitrária C1. Dessa equação, obtenha uma outra envolvendo y, x, C1 e C2. Usando as condições, calcule C1 e C2.)

Passo 1

Beleza! Vamos lá! O exercício fala sobre pontos que estão em uma curva e nos dá uma segunda derivada, que é d^2 yd x^2=2-4 x. Aqui, a matéria é cálculo diferencial, e o que precisamos fazer é encontrar a equação da curva. Para isso, vamos integrar a segunda derivada, que nos dará a primeira derivada, e, em seguida, integrar novamente para achar a função original y. Também vamos usar as condições dadas para encontrar as constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a segunda derivada. Como a gente já sabe que d^2 yd x^2=2-4 x, vamos escrever:
d^2 yd x^2 = 2 - 4x
Agora, vamos integrar para encontrar a primeira derivada y' = d yd x:
y' = integral (2 - 4x)dx
A integral de 2 é 2x e a integral de -4x é -2x^2, então temos:
y' = 2x - 2x^2 + C1
onde C1 é uma constante de integração.

Passo 3

Agora que temos y', vamos integrar novamente para achar y. Integremos a expressão:
y = integral (2x - 2x^2 + C1)dx
A integral de 2x é x^2, a integral de -2x^2 é -23x^3, e a integral de C1 é C1x, então nossa equação fica:
y = x^2 - 23x^3 + C1x + C2
onde C2 é outra constante de integração.

Passo 4

Agora, temos a função da curva:
y = x^2 - 23x^3 + C1x + C2.
Vamos usar os pontos dados, (-1,3) e (0,2), para calcular as constantes C1 e C2. Vamos começar pelo ponto (0, 2).
Substituindo x = 0 e y = 2:
2 = 0^2 - 23(0^3) + C1(0) + C2
Isso simplifica para:
2 = C2
Agora temos C2 = 2.

Passo 5

Agora vamos usar o segundo ponto, (-1, 3):
Substituindo x = -1 e y = 3 na nossa equação:
3 = (-1)^2 - 23(-1)^3 + C1(-1) + 2
Agora, simplificando:
3 = 1 + 23 - C1 + 2
3 = 3 + 23 - C1
Rearranjando, ficamos com:
-C1 = 3 - 3 - 23
-C1 = -23
Assim, C1 = 23.

Resposta

Então as constantes que encontramos foram C1 = 23 e C2 = 2. Agora vamos colocar tudo isso de volta na nossa equação da curva:
y = x^2 - 23x^3 + 23x + 2
Essa é a equação da curva que procuramos!

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