Os pontos estão numa curva e em qualquer ponto da curva . Ache uma equação da curva. (Sugestão: faça e obtenha uma equação envolvendo e uma constante arbitrária . Dessa equação, obtenha uma outra envolvendo e . Usando as condições, calcule e .)

Passo 1

Beleza! Vamos lá! O exercício fala sobre pontos que estão em uma curva e nos dá uma segunda derivada, que é . Aqui, a matéria é cálculo diferencial, e o que precisamos fazer é encontrar a equação da curva. Para isso, vamos integrar a segunda derivada, que nos dará a primeira derivada, e, em seguida, integrar novamente para achar a função original . Também vamos usar as condições dadas para encontrar as constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a segunda derivada. Como a gente já sabe que , vamos escrever:
Agora, vamos integrar para encontrar a primeira derivada :
A integral de é e a integral de é , então temos:

onde é uma constante de integração.

Passo 3

Agora que temos , vamos integrar novamente para achar . Integremos a expressão:
A integral de é , a integral de é , e a integral de é , então nossa equação fica:

onde é outra constante de integração.

Passo 4

Agora, temos a função da curva:
.
Vamos usar os pontos dados, e , para calcular as constantes e . Vamos começar pelo ponto .
Substituindo e :

Isso simplifica para:
Agora temos .

Passo 5

Agora vamos usar o segundo ponto, :
Substituindo e na nossa equação:

Agora, simplificando:

Rearranjando, ficamos com:

Assim, .

Resposta

Então as constantes que encontramos foram e . Agora vamos colocar tudo isso de volta na nossa equação da curva:

Essa é a equação da curva que procuramos!

Exercícios relacionados

Calcule a integral dupla: