Os pontos
estão numa curva e em qualquer ponto
da curva
. Ache uma equação da curva. (Sugestão: faça
e obtenha uma equação envolvendo
e uma constante arbitrária
. Dessa equação, obtenha uma outra envolvendo
e
. Usando as condições, calcule
e
.)
Passo 1
Beleza! Vamos lá! O exercício fala sobre pontos que estão em uma curva e nos dá uma segunda derivada, que é
. Aqui, a matéria é cálculo diferencial, e o que precisamos fazer é encontrar a equação da curva. Para isso, vamos integrar a segunda derivada, que nos dará a primeira derivada, e, em seguida, integrar novamente para achar a função original
. Também vamos usar as condições dadas para encontrar as constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar a segunda derivada. Como a gente já sabe que
, vamos escrever:
Agora, vamos integrar para encontrar a primeira derivada
:
A integral de
é
e a integral de
é
, então temos:
onde
Passo 3
Agora que temos
, vamos integrar novamente para achar
. Integremos a expressão:
A integral de
é
, a integral de
é
, e a integral de
é
, então nossa equação fica:
onde
Passo 4
Agora, temos a função da curva:
Vamos usar os pontos dados,
e
, para calcular as constantes
e
. Vamos começar pelo ponto
.
Substituindo
e
:
Isso simplifica para:
Agora temos
.
Passo 5
Agora vamos usar o segundo ponto,
:
Substituindo e
na nossa equação:
Substituindo
Agora, simplificando:
Rearranjando, ficamos com:
Assim,
Resposta
Então as constantes que encontramos foram
e
. Agora vamos colocar tudo isso de volta na nossa equação da curva:
Essa é a equação da curva que procuramos!
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Calcule a integral dupla: