Calcule a integral dupla integral duplaR(x+y)^2 sen^2(x-y) d x d y, onde R é a região limitada pelo quadrado de vértices (0,1),(1,2),(2,1) e (1,0).

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A gente precisa calcular uma integral dupla da função sobre uma região chamada (x+y)^2 sen^2(x-y). A região R é um quadrado com vértices nos pontos R, (0,1), (1,2) e (2,1). Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente mudanças de variáveis para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região R onde vamos integrar. Olhando os vértices, percebemos que eles formam um quadrado inclinado no plano XY. Para facilitar, vamos fazer uma mudança de variáveis: vamos definir u = x + y e v = x - y. Essa transformação ajuda a simplificar a expressão da função e a região de integração.

Passo 3

Com u = x + y e v = x - y, precisamos expressar x e y em termos de u e v. Resolvendo as equações:
x = u + v2
y = u - v2
Agora, vamos calcular o jacobiano dessa transformação, que é essencial para mudar as variáveis na integral.

Passo 4

O jacobiano J é dado pelo determinante da matriz das derivadas parciais:
J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v = 12 & 12 12 & -12 = (12 times -12) - (12 times 12) = -14 - 14 = -12
Como o jacobiano nos dá a relação de área, usamos o valor absoluto, então |J| = 12.

Passo 5

Agora, vamos determinar os limites de integração na nova coordenada (u, v). Observando os vértices:
  • (0,1): u = 0 + 1 = 1, v = 0 - 1 = -1
  • (1,2): u = 1 + 2 = 3, v = 1 - 2 = -1
  • (2,1): u = 2 + 1 = 3, v = 2 - 1 = 1
  • (1,0): u = 1 + 0 = 1, v = 1 - 0 = 1
Então, u varia de 1 a 3 e, para cada u, v varia de -1 a 1.

Passo 6

Vamos reescrever a integral na nova coordenada:
Substituindo integral duplaR (x+y)^2 sen^2(x-y) , dx , dy = integral duplaR' u^2 sen^2(v) cdot |J| , du , dv :
Primeiro, integraremos em relação a |J| = 12:
Agora, a integral fica:
= 12 integralu=1^3 integralv=-1^1 u^2 sen^2(v) , dv , du

Resposta

A integral dupla vale 133.

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