Calcule a integral dupla , onde é a região limitada pelo quadrado de vértices e .
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A gente precisa calcular uma integral dupla da função sobre uma região chamada . A região é um quadrado com vértices nos pontos , , e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente mudanças de variáveis para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região onde vamos integrar. Olhando os vértices, percebemos que eles formam um quadrado inclinado no plano XY. Para facilitar, vamos fazer uma mudança de variáveis: vamos definir e . Essa transformação ajuda a simplificar a expressão da função e a região de integração.
Passo 3
Com e , precisamos expressar e em termos de e . Resolvendo as equações:
Agora, vamos calcular o jacobiano dessa transformação, que é essencial para mudar as variáveis na integral.
Passo 4
O jacobiano é dado pelo determinante da matriz das derivadas parciais:
Como o jacobiano nos dá a relação de área, usamos o valor absoluto, então .
Passo 5
Agora, vamos determinar os limites de integração na nova coordenada . Observando os vértices: