Calcule a integral dupla , onde é a região limitada pelo quadrado de vértices e .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A gente precisa calcular uma integral dupla da função sobre uma região chamada . A região é um quadrado com vértices nos pontos , , e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente mudanças de variáveis para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região onde vamos integrar. Olhando os vértices, percebemos que eles formam um quadrado inclinado no plano XY. Para facilitar, vamos fazer uma mudança de variáveis: vamos definir e . Essa transformação ajuda a simplificar a expressão da função e a região de integração.

Passo 3

Com e , precisamos expressar e em termos de e . Resolvendo as equações:
Agora, vamos calcular o jacobiano dessa transformação, que é essencial para mudar as variáveis na integral.

Passo 4

O jacobiano é dado pelo determinante da matriz das derivadas parciais:
Como o jacobiano nos dá a relação de área, usamos o valor absoluto, então .

Passo 5

Agora, vamos determinar os limites de integração na nova coordenada . Observando os vértices:
  • : ,
  • : ,
  • : ,
  • : ,
Então, varia de a e, para cada , varia de a .

Passo 6

Vamos reescrever a integral na nova coordenada:
Substituindo :
Primeiro, integraremos em relação a :
Agora, a integral fica:

Resposta

A integral dupla vale .

Exercícios relacionados

Use o Método de Euler com o passo 0,1 para calcular os valores aproximados de y1, y2, y3 e y4 da solução do problema de valor inicial .
Resolva o problema do valor inicial:

.
Considere a região do plano- dada pelo conjunto de pontos tais que e está entre os gráficos de e .
(b) Calcule, usando integração dupla, a área da região .
Considere a região do plano- dada pelo conjunto de pontos tais que e está entre os gráficos de e .
© Inverta a ordem de integração que você usou no item (b) (não é necessário resolver novamente a integral dupla).