Calcule a integral dupla , onde é a região limitada pelo quadrado de vértices e .
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A gente precisa calcular uma integral dupla da função sobre uma região chamada . A região é um quadrado com vértices nos pontos , , e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente mudanças de variáveis para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região onde vamos integrar. Olhando os vértices, percebemos que eles formam um quadrado inclinado no plano XY. Para facilitar, vamos fazer uma mudança de variáveis: vamos definir e . Essa transformação ajuda a simplificar a expressão da função e a região de integração.
Passo 3
Com e , precisamos expressar e em termos de e . Resolvendo as equações:
Agora, vamos calcular o jacobiano dessa transformação, que é essencial para mudar as variáveis na integral.
Passo 4
O jacobiano é dado pelo determinante da matriz das derivadas parciais:
Como o jacobiano nos dá a relação de área, usamos o valor absoluto, então |J| = 12.
Passo 5
Agora, vamos determinar os limites de integração na nova coordenada (u, v). Observando os vértices:
(0,1): u = 0 + 1 = 1, v = 0 - 1 = -1
(1,2): u = 1 + 2 = 3, v = 1 - 2 = -1
(2,1): u = 2 + 1 = 3, v = 2 - 1 = 1
(1,0): u = 1 + 0 = 1, v = 1 - 0 = 1
Então, u varia de 1 a 3 e, para cada u, v varia de -1 a 1.
Passo 6
Vamos reescrever a integral na nova coordenada:
Substituindo integral duplaR (x+y)^2 sen^2(x-y) , dx , dy = integral duplaR' u^2 sen^2(v) cdot |J| , du , dv :
Primeiro, integraremos em relação a |J| = 12:
Agora, a integral fica:
= 12 integralu=1^3 integralv=-1^1 u^2 sen^2(v) , dv , du