Resolva o problema do valor inicial:

.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um problema de Equações Diferenciais, especificamente uma equação diferencial linear de segunda ordem com condições iniciais. Para resolver isso, a gente vai precisar usar conhecimentos sobre equações diferenciais homogêneas e as suas soluções gerais. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a equação diferencial que você deu:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. O próximo passo é encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 3

Para resolver essa equação, a gente começa encontrando a equação característica. Substituímos por e obtemos:
Resolvendo essa equação para , temos:

Passo 4

Como as raízes são complexas ( ), a solução geral da equação diferencial é:
Aqui, e são constantes que a gente precisa determinar usando as condições iniciais fornecidas.

Passo 5

Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar e :
Primeiro, calculamos :
Sabemos que e , então:

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada de :
Aplicando a condição :
Como e :

Resposta

Substituindo e na solução geral, temos:

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