Resolva o problema do valor inicial:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um problema de Equações Diferenciais, especificamente uma equação diferencial linear de segunda ordem com condições iniciais. Para resolver isso, a gente vai precisar usar conhecimentos sobre equações diferenciais homogêneas e as suas soluções gerais. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a equação diferencial que você deu:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. O próximo passo é encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 3
Para resolver essa equação, a gente começa encontrando a equação característica. Substituímos
por
e obtemos:
Resolvendo essa equação para
, temos:
Passo 4
Como as raízes são complexas (
), a solução geral da equação diferencial é:
Aqui,
e
são constantes que a gente precisa determinar usando as condições iniciais fornecidas.
Passo 5
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar
e
:
Primeiro, calculamos
:
Sabemos que
e
, então:
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada de
:
Aplicando a condição
:
Como
e
:
Resposta
Substituindo
e
na solução geral, temos:
Exercícios relacionados
Resolva a equação diferencial separável:
Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças
na partícula que se move ao longo da curva
.
de
até
.
Use o Método de Euler com o passo 0,1 para calcular os valores aproximados de y1, y2, y3 e y4 da solução do problema de valor inicial
.
Calcule a integral dupla
, onde
é a região limitada pelo quadrado de vértices
e
.