Considere a região
do plano-
dada pelo conjunto de pontos
tais que
e
está entre os gráficos de
e
.
© Inverta a ordem de integração que você usou no item (b) (não é necessário resolver novamente a integral dupla).
© Inverta a ordem de integração que você usou no item (b) (não é necessário resolver novamente a integral dupla).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para inverter a ordem de integração em um problema de cálculo que envolve uma integral dupla. Estamos lidando com a região
no plano
, definida por
e
variando entre as curvas
e
. Para fazer isso, precisamos entender como as variáveis
e
estão relacionadas dentro dessa região.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. Temos duas curvas:
é uma linha reta que passa pela origem com inclinação
, e
é uma parábola que também passa pela origem, mas sobe mais rapidamente. A região
está entre essas duas curvas, de
até
.
Passo 3
Para inverter a ordem de integração, precisamos expressar
em termos de
ao invés de
em termos de
. Isso significa que vamos redefinir os limites de integração para que primeiro integremos em relação a
e depois em relação a
.
Passo 4
Vamos encontrar os limites de
. Observando as curvas, quando
,
para ambas as equações. Quando
:
- Para
, temos . - Para
, temos .
Portanto,
varia de
até
.
Passo 5
Agora, para cada valor de
, precisamos determinar os limites de
. A partir da equação
, podemos resolver para
:
E da equação
, resolvendo para
:
Então, para cada
,
varia de
até
.
Passo 6
Com isso, a integral dupla com a ordem de integração invertida fica:
Resposta
A ordem de integração invertida é:
Exercícios relacionados
Considere a região
do plano-
dada pelo conjunto de pontos
tais que
e
está entre os gráficos de
e
.
(b) Calcule, usando integração dupla, a área da região .
(b) Calcule, usando integração dupla, a área da região
Calcule a integral dupla
, onde
é a região limitada pelo quadrado de vértices
e
.
Considere a integral
, onde
é a região sólida dada por
Determine os limites de integração e escreva as integrais iteradas usando:
(b) coordenadas cilíndricas;
(b) coordenadas cilíndricas;
Calcule o volume do conjunto