Considere a região do plano- dada pelo conjunto de pontos tais que e está entre os gráficos de e .
© Inverta a ordem de integração que você usou no item (b) (não é necessário resolver novamente a integral dupla).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para inverter a ordem de integração em um problema de cálculo que envolve uma integral dupla. Estamos lidando com a região no plano , definida por e variando entre as curvas e . Para fazer isso, precisamos entender como as variáveis e estão relacionadas dentro dessa região.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . Temos duas curvas: é uma linha reta que passa pela origem com inclinação , e é uma parábola que também passa pela origem, mas sobe mais rapidamente. A região está entre essas duas curvas, de até .

Passo 3

Para inverter a ordem de integração, precisamos expressar em termos de ao invés de em termos de . Isso significa que vamos redefinir os limites de integração para que primeiro integremos em relação a e depois em relação a .

Passo 4

Vamos encontrar os limites de . Observando as curvas, quando , para ambas as equações. Quando :
  • Para , temos .
  • Para , temos .
Portanto, varia de até .

Passo 5

Agora, para cada valor de , precisamos determinar os limites de . A partir da equação , podemos resolver para :
E da equação , resolvendo para :
Então, para cada , varia de até .

Passo 6

Com isso, a integral dupla com a ordem de integração invertida fica:

Resposta

A ordem de integração invertida é:

Exercícios relacionados

Considere a região do plano- dada pelo conjunto de pontos tais que e está entre os gráficos de e .
(b) Calcule, usando integração dupla, a área da região .
Calcule a integral dupla , onde é a região limitada pelo quadrado de vértices e .
Considere a integral , onde é a região sólida dada por
Determine os limites de integração e escreva as integrais iteradas usando:
(b) coordenadas cilíndricas;
Calcule o volume do conjunto