Considere a região R do plano- x y dada pelo conjunto de pontos (x, y) tais que 0 <= x <= 5 e y está entre os gráficos de y = x / 2 e y = raiz(x).
(b) Calcule, usando integração dupla, a área da região R.

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é calcular a área da região no plano . A região é definida por e entre as funções e . Vamos usar integração dupla para encontrar essa área. Precisamos configurar os limites de integração corretamente e calcular as integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as funções que delimitam a região:
  • é uma linha reta que passa pela origem com inclinação ½.
  • é uma curva que também passa pela origem, mas aumenta de forma mais rápida inicialmente.
Vamos encontrar onde essas duas funções se cruzam para saber como a região está dividida.

Passo 3

Para achar os pontos de interseção, igualamos as duas funções:
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar a fração:
Elevando ambos os lados ao quadrado para tirar a raiz:
Subtraindo de ambos os lados:
Fatorando:
Então, ou . As funções se cruzam em e .

Passo 4

Agora sabemos que:
  • De a , está acima de .
  • De a , está acima de .
Então, nossa área vai ser a soma de duas integrais:
  1. De a , de até .
  2. De a , de até .

Passo 5

Vamos escrever a integral dupla que representa a área:

Passo 6

Vamos calcular a primeira parte da integral:
A integral interna de até é simplesmente . Então:

Passo 7

Resolvendo :
Calculando as integrais:
Substituindo os limites de 0 a 4:
Calculando:

Passo 8

Agora, vamos calcular a segunda parte da integral:
A integral interna de até é . Então:

Passo 9

Resolvendo :
Calculando as integrais:
Substituindo os limites de 4 a 5:
Simplificando:

Passo 10

Agora, somamos e para obter a área total :
Para facilitar, vamos calcular os valores numéricos:
Então:
á

Resposta

A área da região é aproximadamente unidades de área.

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