Considere a região
do plano-
dada pelo conjunto de pontos
tais que
e
está entre os gráficos de
e
.
(b) Calcule, usando integração dupla, a área da região
.
(b) Calcule, usando integração dupla, a área da região
Passo 1
Beleza, o que a gente tem aqui é calcular a área da região
no plano
. A região é definida por
e
entre as funções
e
. Vamos usar integração dupla para encontrar essa área. Precisamos configurar os limites de integração corretamente e calcular as integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as funções que delimitam a região:
-
é uma linha reta que passa pela origem com inclinação ½. -
é uma curva que também passa pela origem, mas aumenta de forma mais rápida inicialmente.
Vamos encontrar onde essas duas funções se cruzam para saber como a região está dividida.
Passo 3
Para achar os pontos de interseção, igualamos as duas funções:
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar a fração:
Elevando ambos os lados ao quadrado para tirar a raiz:
Subtraindo
de ambos os lados:
Fatorando:
Então,
ou
. As funções se cruzam em
e
.
Passo 4
Agora sabemos que:
- De
a , está acima de . - De
a , está acima de .
Então, nossa área
vai ser a soma de duas integrais:
- De
a , de até . - De
a , de até .
Passo 5
Vamos escrever a integral dupla que representa a área:
Passo 6
Vamos calcular a primeira parte da integral:
A integral interna
de
até
é simplesmente
. Então:
Passo 7
Resolvendo
:
Calculando as integrais:
Substituindo os limites de 0 a 4:
Calculando:
Passo 8
Agora, vamos calcular a segunda parte da integral:
A integral interna
de
até
é
. Então:
Passo 9
Resolvendo
:
Calculando as integrais:
Substituindo os limites de 4 a 5:
Simplificando:
Passo 10
Agora, somamos
e
para obter a área total
:
Para facilitar, vamos calcular os valores numéricos:
Então:
Resposta
A área da região
é aproximadamente
unidades de área.
Exercícios relacionados
Calcule a integral dupla
, onde
é a região limitada pelo quadrado de vértices
e
.
Use o Método de Euler com o passo 0,1 para calcular os valores aproximados de y1, y2, y3 e y4 da solução do problema de valor inicial
.
Considere a região
do plano-
dada pelo conjunto de pontos
tais que
e
está entre os gráficos de
e
.
© Inverta a ordem de integração que você usou no item (b) (não é necessário resolver novamente a integral dupla).
© Inverta a ordem de integração que você usou no item (b) (não é necessário resolver novamente a integral dupla).
Considere a integral
, onde
é a região sólida dada por
Determine os limites de integração e escreva as integrais iteradas usando:
(b) coordenadas cilíndricas;
(b) coordenadas cilíndricas;