Calcule a integral dupla. , onde

Passo 1

Beleza! O exercício pede para calcularmos uma integral dupla: , onde a região é definida por e . Vamos usar o conceito de integrais duplas em cálculo multivariado para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que uma integral dupla sobre uma região retangular pode ser decomposta em duas integrais simples. Aqui, nossa função é .

Passo 3

Decidimos a ordem de integração. Vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a . Então, nossa integral fica:

Passo 4

Vamos calcular a integral interna em relação a :
Aqui, tratamos como uma constante. A integral de em relação a é .

Passo 5

Aplicando a integral:

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:

Passo 7

Vamos resolver essa integral em relação a :
A integral de é e a integral de é .

Passo 8

Calculando as integrais:

Passo 9

Simplificando:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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