Calcule a integral dupla. integral duplaR y e^x y d x d y, onde R=(x, y) in R^2 ; 0 <= x <= 3,0 <= y <= 1

Passo 1

Beleza! O exercício pede para calcularmos uma integral dupla: , onde a região é definida por e . Vamos usar o conceito de integrais duplas em cálculo multivariado para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que uma integral dupla sobre uma região retangular pode ser decomposta em duas integrais simples. Aqui, nossa função é .

Passo 3

Decidimos a ordem de integração. Vamos integrar primeiro em relação a integral0^1 ( integral0^3 y e^x y , dx ) dy e depois em relação a . Então, nossa integral fica:

Passo 4

Vamos calcular a integral interna em relação a integral0^3 y e^x y , dx :
Aqui, tratamos como uma constante. A integral de em relação a é .

Passo 5

Aplicando a integral:
integral0^3 y e^x y , dx = y [ 1y e^x y ]0^3 = [ e^3 y - e^0 ] = e^3 y - 1

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^1 ( e^3 y - 1 ) dy

Passo 7

Vamos resolver essa integral em relação a integral0^1 e^3 y , dy - integral0^1 1 , dy :
A integral de é e a integral de é .

Passo 8

Calculando as integrais:
13 [ e^3 y ]0^1 - [ y ]0^1 = 13 ( e^3 - 1 ) - (1 - 0) = e^3 - 13 - 1

Passo 9

Simplificando:
e^3 - 13 - 33 = e^3 - 43

Resposta

O valor da integral dupla é .

Exercícios relacionados