Calcule a integral dupla.
, onde
Passo 1
Beleza! O exercício pede para calcularmos uma integral dupla:
, onde a região
é definida por
e
. Vamos usar o conceito de integrais duplas em cálculo multivariado para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que uma integral dupla sobre uma região retangular
pode ser decomposta em duas integrais simples. Aqui, nossa função é
.
Passo 3
Decidimos a ordem de integração. Vamos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
. Então, nossa integral fica:
Passo 4
Vamos calcular a integral interna em relação a
:
Aqui, tratamos
como uma constante. A integral de
em relação a
é
.
Passo 5
Aplicando a integral:
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Passo 7
Vamos resolver essa integral em relação a
:
A integral de
é
e a integral de
é
.
Passo 8
Calculando as integrais:
Passo 9
Simplificando:
Resposta
O valor da integral dupla é
.