2,0 Determine a área do parabolóide z = 2(x^2 + y^2) abaixo do plano z = 8.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um parabolóide dado pela equação e queremos encontrar a área dessa superfície abaixo do plano . Para isso, vamos precisar usar cálculo de integrais duplas em coordenadas polares para facilitar os cálculos.

Passo 2

Vamos achar a curva de interseção entre o parabolóide e o plano . Igualando as duas equações:
Isso nos mostra que a interseção é um círculo de raio 2 no plano .

Passo 3

Para calcular a área da superfície do parabolóide, usamos a fórmula da área para uma superfície :

Passo 4

Calculando as derivadas parciais de em relação a e :
Substituindo na expressão da área:

Passo 5

Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares, onde e . Assim, a expressão dentro da raiz fica:
E o elemento de área se transforma em .

Passo 6

Os limites de integração em polar são de 0 a 2 e de 0 a . Então, a integral fica:

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em . Fazendo a substituição , temos , ou seja, . Assim:
Substituindo de volta :
Avaliada de 0 a 2:

Passo 8

Agora, integramos em :

Resposta

A área do parabolóide abaixo do plano é unidades de área.

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