Determine a área do parabolóide
abaixo do plano
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um parabolóide dado pela equação
e queremos encontrar a área dessa superfície abaixo do plano
. Para isso, vamos precisar usar cálculo de integrais duplas em coordenadas polares para facilitar os cálculos.
Passo 2
Vamos achar a curva de interseção entre o parabolóide e o plano
. Igualando as duas equações:
Isso nos mostra que a interseção é um círculo de raio 2 no plano
.
Passo 3
Para calcular a área da superfície do parabolóide, usamos a fórmula da área para uma superfície
:
Passo 4
Calculando as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Substituindo na expressão da área:
Passo 5
Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares, onde
e
. Assim, a expressão dentro da raiz fica:
E o elemento de área
se transforma em
.
Passo 6
Os limites de integração em polar são
de 0 a 2 e
de 0 a
. Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna em
. Fazendo a substituição
, temos
, ou seja,
. Assim:
Substituindo de volta
:
Avaliada de 0 a 2:
Passo 8
Agora, integramos em
:
Resposta
A área do parabolóide abaixo do plano
é
unidades de área.