Calcule a integral dupla.
integralR x y e^2^2 d A, R=[0,1] times[0,2]

Passo 1

Beleza, vamos calcular essa integral dupla que você me passou. O enunciado é:
integralR x y e^2^2 , dA, R=[0,1] times [0,2]
Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Integral, mais especificamente com integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções de duas variáveis sobre uma região retangular.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Note que integral0^1 integral0^2 x y e^4 , dy , dx é e^4 integral0^1 integral0^2 x y , dy , dx , que é uma constante porque não depende de nem de . Então, a integral fica:
Como é constante, podemos tirá-la da integral:

Passo 3

Agora, vamos integrar em relação a integral0^2 x y , dy primeiro. A integral interna é:
x [ 12 y^2 ]0^2 = x ( 12 times 4 - 0 ) = x times 2 = 2x
Aqui, é considerado uma constante em relação a . Então, a antiderivada de é . Calculando entre 0 e 2:

Passo 4

Substituímos esse resultado na integral externa:
e^4 integral0^1 2x , dx
Agora, vamos integrar e^4 times 2 [ 12 x^2 ]0^1 = e^4 times 2 ( 12 times 1 - 0 ) = e^4 times 2 times 12 = e^4 em relação a . A antiderivada de é , então:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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