Determine a forma polar para z w, z / w e 1 / z colocando primeiro z e w na forma polar com argumento entre 0 e 2 pi.
© z = 5(raiz(3) + i), w = -3 - 3i

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de números complexos! A gente precisa encontrar a forma polar de , e . Primeiro, vamos colocar os números e na forma polar, garantindo que os argumentos estejam entre e . Para isso, vamos usar a representação polar, que expressa um número complexo na forma , onde é o módulo e é o argumento.

Passo 2

Vamos começar convertendo para a forma polar. Dado , primeiro encontramos o módulo :

Passo 3

Agora, vamos achar o argumento de :
Então, a forma polar de é:

Passo 4

Vamos converter para a forma polar. Dado , primeiro calculamos o módulo :

Passo 5

Agora, determinamos o argumento de :
Como ambos os componentes são negativos, está no terceiro quadrante. Então:
Portanto, a forma polar de é:

Passo 6

Agora, vamos calcular . Na forma polar, multiplicamos os módulos e somamos os argumentos:
Então:

Passo 7

Vamos calcular agora . Na forma polar, dividimos os módulos e subtraímos os argumentos:
Como queremos o argumento entre e :
Portanto:

Passo 8

Finalmente, vamos calcular . Na forma polar, o módulo é o inverso e o argumento é o negativo:
Para ajustar o argumento entre e :
Então:

Resposta

As formas polares são:

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