Calcule a integral iterada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa resolver é uma integral dupla, que é tipo calcular a área sob uma superfície definida pelas funções dadas. A integral que temos é:
Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais iteradas. Pra resolver isso, vamos precisar entender como separar e calcular cada parte dessa integral passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral interna, que é a integral em relação a
:
Como
é constante em relação a
, podemos puxar ele pra fora da integral:
Agora, precisamos resolver essa integral em
.
Passo 3
Para resolver a integral
, vamos usar a substituição. Vamos deixar
. Assim, a derivada de
em relação a
é:
O que significa que:
Substituindo na integral, ficamos com:
Passo 4
Agora, resolvemos a integral
:
Lembrando que
, temos:
Passo 5
Voltando à nossa integral interna com os limites de
a
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, temos que integrar isso em relação a
de
a
:
Vamos puxar a constante pra fora da integral:
Passo 7
Resolvendo a integral
:
Então, tudo fica:
Resposta
A integral iterada vale: