Calcule a integral iterada.
integral0^1 integral0^1 x y raizlambda^2+y^2 d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa resolver é uma integral dupla, que é tipo calcular a área sob uma superfície definida pelas funções dadas. A integral que temos é:
integral0^1 integral0^1 x y raizlambda^2+y^2 , dy , dx
Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais iteradas. Pra resolver isso, vamos precisar entender como separar e calcular cada parte dessa integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é a integral em relação a integral0^1 x y raizlambda^2+y^2 , dy:
x integral0^1 y raizlambda^2+y^2 , dy
Como é constante em relação a , podemos puxar ele pra fora da integral:
Agora, precisamos resolver essa integral em .

Passo 3

Para resolver a integral du = 2y , dy, vamos usar a substituição. Vamos deixar y , dy = du2. Assim, a derivada de integral y raizlambda^2+y^2 , dy = integral raizu cdot du2 = 12 integral u^1/2 , du em relação a é:
O que significa que:
Substituindo na integral, ficamos com:

Passo 4

Agora, resolvemos a integral 12 cdot u^3/232 + C = 13 u^3/2 + C:
13 (lambda^2 + y^2)^3/2 + C
Lembrando que , temos:

Passo 5

Voltando à nossa integral interna com os limites de x [ 13 (lambda^2 + y^2)^3/2 ]0^1 = x ( 13 (lambda^2 + 1)^3/2 - 13 (lambda^2)^3/2 ) a x cdot 13 ( (lambda^2 + 1)^3/2 - lambda^3 ):
Simplificando:

Passo 6

Agora, temos que integrar isso em relação a integral0^1 x cdot 13 ( (lambda^2 + 1)^3/2 - lambda^3 ) dx de 13 ( (lambda^2 + 1)^3/2 - lambda^3 ) integral0^1 x , dx a :
Vamos puxar a constante pra fora da integral:

Passo 7

Resolvendo a integral [ x^22 ]0^1 = 12 - 0 = 12:
13 ( (lambda^2 + 1)^3/2 - lambda^3 ) cdot 12 = 16 ( (lambda^2 + 1)^3/2 - lambda^3 )
Então, tudo fica:

Resposta

A integral iterada vale:
16 ( (lambda^2 + 1)^3/2 - lambda^3 )

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