Determine as potências indicadas usando o teorema de De Moivre.
(d) (1+i)^40

Passo 1

Beleza, galera! A gente tem que calcular usando o Teorema de De Moivre. Esse problema tá na área de números complexos, especificamente envolvendo a forma polar dos números complexos e como usar o Teorema de De Moivre para elevar um número complexo a uma potência. Vamos precisar transformar para a forma polar, identificar o módulo e o ângulo, e depois aplicar o teorema para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos converter para a forma polar. Um número complexo pode ser escrito em forma polar como , onde:
  • é o módulo de , calculado por .
  • é o argumento de , que é o ângulo que o número complexo forma com o eixo real.
Aqui, e , então:
E o ângulo é 45°, porque o número está no primeiro quadrante e os valores de e são iguais.
Então, podemos escrever:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema de De Moivre, que diz que . Queremos calcular , então:
Vamos calcular cada parte:
  • . Como os ângulos em trigonometria são cíclicos a cada 360°, podemos simplificar: voltas completas, então o ângulo efetivo é .
Então:
Portanto:

Resposta

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