Determine as potências indicadas usando o teorema de De Moivre.
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, galera! A gente tem que calcular
usando o Teorema de De Moivre. Esse problema tá na área de números complexos, especificamente envolvendo a forma polar dos números complexos e como usar o Teorema de De Moivre para elevar um número complexo a uma potência. Vamos precisar transformar
para a forma polar, identificar o módulo e o ângulo, e depois aplicar o teorema para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos converter
para a forma polar. Um número complexo
pode ser escrito em forma polar como
, onde:
-
é o módulo de , calculado por . -
é o argumento de , que é o ângulo que o número complexo forma com o eixo real.
Aqui,
e
, então:
E o ângulo
é 45°, porque o número está no primeiro quadrante e os valores de
e
são iguais.
Então, podemos escrever:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teorema de De Moivre, que diz que
. Queremos calcular
, então:
Vamos calcular cada parte:
-
-
. Como os ângulos em trigonometria são cíclicos a cada 360°, podemos simplificar: voltas completas, então o ângulo efetivo é .
Então:
Portanto: