Calcule a integral dupla:
k. integral duplaR x e^x y d A ; R=(x, y) ; 1 <= x <= 3 ; 0 <= y <= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular , onde a região é definida por e . A gente vai usar o conteúdo de Cálculo Integral, especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral dupla de forma iterada. Isso significa que vamos integrar uma variável de cada vez. Então, nossa integral fica assim:
integralx=1^3 ( integraly=0^1 x e^x y , dy ) dx
Aqui, a gente vai resolver a integral interna primeiro.

Passo 3

Vamos focar na integral interna:
integral0^1 x e^x y , dy
Como x integral0^1 e^x y , dy é uma constante em relação a x cdot 1x integralu=0^u=x e^u , du = integral0^x e^u , du = e^x - e^0 = e^x - 1 , podemos puxar ele para fora da integral:
Agora, para integrar em relação a , fazemos uma substituição simples. Seja , então ou . A integral fica:
Então, a integral interna resulta em .

Passo 4

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral1^3 (e^x - 1) , dx
Vamos resolver essa integral separadamente:
integral e^x , dx = e^x + C e integral 1 , dx = x + C
Portanto,
integral1^3 (e^x - 1) , dx = [ e^x - x ]1^3 = (e^3 - 3) - (e^1 - 1) = e^3 - e - 2

Resposta

A integral dupla vale .

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