Calcule a integral dupla:
k.
k.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular
, onde a região
é definida por
e
. A gente vai usar o conteúdo de Cálculo Integral, especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a integral dupla de forma iterada. Isso significa que vamos integrar uma variável de cada vez. Então, nossa integral fica assim:
Aqui, a gente vai resolver a integral interna
primeiro.
Passo 3
Vamos focar na integral interna:
Como
é uma constante em relação a
, podemos puxar ele para fora da integral:
Agora, para integrar
em relação a
, fazemos uma substituição simples. Seja
, então
ou
. A integral fica:
Então, a integral interna resulta em
.
Passo 4
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Vamos resolver essa integral separadamente:
Portanto,
Resposta
A integral dupla vale
.