Considere a função vetorial dada pelo vetor posição r(t) = t i + t^2 j. Determine:
c) vec(r)'(1) e |r'(1)|. Interprete o significado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função vetorial que nos dá a posição de um ponto em função do tempo, ou seja, . O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a derivada dessa função quando , ou seja, vec(r)'(1), e depois calcular o módulo dessa derivada, que é |r'(1)|. Isso vai nos ajudar a entender a velocidade do ponto nesse instante e a rapidez com que ele está se movendo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função vetorial nos dá o vetor velocidade. Para encontrar r'(t), vamos derivar cada componente da função vec(r)(t) em relação a t.
Temos:
Derivando cada parte:
  • A derivada de em relação a t é , porque a derivada de t é 1.
  • A derivada de em relação a t é , já que a derivada de t^2 é .
Então, a derivada da função vetorial é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar vec(r)'(1). Basta substituir t por 1 na expressão que encontramos para a derivada.
Então, o vetor velocidade no instante é:

Passo 4

Para encontrar o módulo desse vetor velocidade, que representa a rapidez do ponto no instante , usamos a fórmula do módulo de um vetor:
onde vx e são as componentes do vetor.
Aplicando isso ao nosso vetor :

Resposta

Então, a derivada da posição no instante é , e o módulo dessa derivada é . Isso significa que, no instante , o ponto está se movendo com uma velocidade cujo vetor tem componentes 1 na direção i e 2 na direção vec(j), e a rapidez com que ele está se movendo nesse instante é raiz(5) unidades por tempo.

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