Por que
é o mesmo para
e
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está perguntando. Temos duas equações diferenciais do tipo
, onde
é a função de Heaviside que “liga” a função em
. O objetivo é descobrir por que o valor de
(o valor final de
quando
vai para o infinito) é o mesmo para
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares e como a função de Heaviside influencia a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial geral
. Essa é uma equação linear de primeira ordem e podemos resolvê-la usando o método do fator integrante.
O fator integrante
é dado por:
Multiplicando toda a equação por
:
Isso simplifica para:
Passo 3
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
A função de Heaviside
é zero para
e um para
. Portanto, a integral se divide em duas partes:
Então, temos:
Passo 4
Agora, isolamos
:
Para encontrar a constante
, consideramos que quando
tende ao infinito,
deve se aproximar de
.
Passo 5
Vamos analisar o limite quando
vai para o infinito:
Independente do valor de
,
e
tendem a zero quando
cresce, deixando apenas
.
Resposta
O valor final
é igual a 1 para ambas as equações
e
porque, independentemente de quando a função de Heaviside é acionada, o efeito a longo prazo faz com que
se estabilize em 1.