Por que y_infinito é o mesmo para y' + y = H(t - 2) e y' + y = H(t - 10).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está perguntando. Temos duas equações diferenciais do tipo , onde é a função de Heaviside que “liga” a função em . O objetivo é descobrir por que o valor de (o valor final de quando vai para o infinito) é o mesmo para e . Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares e como a função de Heaviside influencia a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial geral . Essa é uma equação linear de primeira ordem e podemos resolvê-la usando o método do fator integrante.
O fator integrante é dado por:
Multiplicando toda a equação por :
Isso simplifica para:

Passo 3

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
A função de Heaviside é zero para e um para . Portanto, a integral se divide em duas partes:
Então, temos:

Passo 4

Agora, isolamos :
Para encontrar a constante , consideramos que quando tende ao infinito, deve se aproximar de .

Passo 5

Vamos analisar o limite quando vai para o infinito:
Independente do valor de , e tendem a zero quando cresce, deixando apenas .

Resposta

O valor final é igual a 1 para ambas as equações e porque, independentemente de quando a função de Heaviside é acionada, o efeito a longo prazo faz com que se estabilize em 1.

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