Calcule a integral dupla: k.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O que a gente tem aqui é a integral de
sobre a região
onde
varia de 1 a 3 e
varia de 0 a 1. Esse problema está na área de cálculo integral, especificamente em integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular integrais iteradas, ou seja, fazer a integral em relação a
e depois em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a integral dupla de forma iterada. Isso significa que a gente vai integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
. Então nossa integral fica assim:
Passo 3
Vamos focar na integral interna primeiro:
. Aqui,
é considerado uma constante porque estamos integrando em relação a
. Então, podemos tirar o
da integral:
Passo 4
Agora, precisamos calcular
. Para integrar
em relação a
, vamos usar uma substituição simples. Seja
, então
, o que significa que
.
Passo 5
Substituindo na integral, temos:
Voltando para a variável original
, isso fica:
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Passo 7
Agora, substituímos essa expressão na integral externa, que é em relação a
:
Passo 8
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. Primeiro,
. Aqui, usamos a integração por partes, onde:
Então, pela fórmula de integração por partes (
):
Passo 9
Agora, a segunda integral:
.
Passo 10
Voltando às integrais com os limites:
Calculando cada parte:
Para
:
Para
:
Resposta
Juntando tudo, a integral dupla vale
.
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até
até
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, o fluxo de
através de
, em cada caso:
(e) é o retângulo
no plano
orientada positivamente;
(e)