Calcule a integral dupla: k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O que a gente tem aqui é a integral de sobre a região onde varia de 1 a 3 e varia de 0 a 1. Esse problema está na área de cálculo integral, especificamente em integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular integrais iteradas, ou seja, fazer a integral em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral dupla de forma iterada. Isso significa que a gente vai integrar primeiro em relação a e depois em relação a . Então nossa integral fica assim:

Passo 3

Vamos focar na integral interna primeiro: . Aqui, é considerado uma constante porque estamos integrando em relação a . Então, podemos tirar o da integral:

Passo 4

Agora, precisamos calcular . Para integrar em relação a , vamos usar uma substituição simples. Seja , então , o que significa que .

Passo 5

Substituindo na integral, temos:
Voltando para a variável original , isso fica:

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de a :

Passo 7

Agora, substituímos essa expressão na integral externa, que é em relação a :

Passo 8

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. Primeiro, . Aqui, usamos a integração por partes, onde:
Então, pela fórmula de integração por partes ( ):

Passo 9

Agora, a segunda integral: .

Passo 10

Voltando às integrais com os limites:
Calculando cada parte:
Para :
Para :

Resposta

Juntando tudo, a integral dupla vale .

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