Calcule a integral dupla: k. integral duplaR x e^x y d A ; R=(x, y) ; 1 <= x <= 3 ; 0 <= y <= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O que a gente tem aqui é a integral de sobre a região onde varia de 1 a 3 e varia de 0 a 1. Esse problema está na área de cálculo integral, especificamente em integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular integrais iteradas, ou seja, fazer a integral em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral dupla de forma iterada. Isso significa que a gente vai integrar primeiro em relação a integralx=1^3 ( integraly=0^1 x e^xy , dy ) dx e depois em relação a . Então nossa integral fica assim:

Passo 3

Vamos focar na integral interna primeiro: x integral0^1 e^xy , dy . Aqui, é considerado uma constante porque estamos integrando em relação a . Então, podemos tirar o da integral:

Passo 4

Agora, precisamos calcular . Para integrar em relação a , vamos usar uma substituição simples. Seja , então , o que significa que .

Passo 5

Substituindo na integral, temos:
x integral e^u cdot dux = integral e^u , du = e^u + C
Voltando para a variável original e^xy + C , isso fica:

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de x [ e^x(1) - e^x(0) ] = x ( e^x - 1 ) a :

Passo 7

Agora, substituímos essa expressão na integral externa, que é em relação a integral1^3 x ( e^x - 1 ) dx = integral1^3 x e^x , dx - integral1^3 x , dx :

Passo 8

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. Primeiro, x e^x - integral e^x dx = x e^x - e^x + C . Aqui, usamos a integração por partes, onde:
Então, pela fórmula de integração por partes ( ):

Passo 9

Agora, a segunda integral: .

Passo 10

Voltando às integrais com os limites:
[ x e^x - e^x ]1^3 - [ x^22 ]1^3
Calculando cada parte:
Para (3 e^3 - e^3) - (1 e^1 - e^1) = 2 e^3 - 0 = 2 e^3 :
3^22 - 1^22 = 92 - 12 = 4
Para :

Resposta

Juntando tudo, a integral dupla vale .

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