Calcule , o fluxo de através de , em cada caso:
(e) é o retângulo no plano orientada positivamente;
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície . Aqui, o campo vetorial é dado por , e a superfície é um retângulo no plano com os limites e . Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície e saber como calcular o vetor normal à superfície orientada positivamente.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o vetor normal à superfície . Como a superfície está no plano , isso significa que é constante. Para superfícies planas, o vetor normal é perpendicular a todos os vetores tangentes à superfície. No nosso caso, como é constante, o vetor normal será na direção do eixo . Como a orientação é positiva, o vetor normal será na direção positiva de , ou seja, .
Passo 3
Agora, vamos expressar a integral de fluxo. O fluxo é dado por:
Substituindo e , temos:
Passo 4
Agora, vamos integrar essa expressão sobre a superfície . As variáveis de integração são e , já que é constante ().