Calcule phi=integral duplasigma F cdot n d S, o fluxo de F através de sigma, em cada caso:
(e) F(x, y, z)=x^2 i+(x+e^y) j-k, sigma é o retângulo 0 <= x <= 2,0 <= z <= 4 no plano y=-1 orientada positivamente;

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície . Aqui, o campo vetorial é dado por , e a superfície é um retângulo no plano com os limites e . Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície e saber como calcular o vetor normal à superfície orientada positivamente.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o vetor normal à superfície . Como a superfície está no plano , isso significa que é constante. Para superfícies planas, o vetor normal é perpendicular a todos os vetores tangentes à superfície. No nosso caso, como é constante, o vetor normal será na direção do eixo . Como a orientação é positiva, o vetor normal será na direção positiva de , ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos expressar a integral de fluxo. O fluxo phi = integral duplasigma F cdot n , dS é dado por:
F cdot n = (x^2 i + (x + e^y) j - k) cdot j = x + e^y
Substituindo e , temos:

Passo 4

Agora, vamos integrar essa expressão sobre a superfície phi = integral0^2 integral0^4 (x + e^-1) , dz , dx . As variáveis de integração são e , já que é constante ( ).
Note que com se torna .

Passo 5

Vamos calcular a integral interna em relação a integral0^4 (x + e^-1) , dz = (x + e^-1) cdot z g|0^4 = 4(x + e^-1) :

Passo 6

Agora, integramos o resultado em relação a phi = integral0^2 4(x + e^-1) , dx = 4 integral0^2 x , dx + 4 e^-1 integral0^2 dx :
4 [ x^22 g|0^2 ] + 4 e^-1 [ x g|0^2 ] = 4 ( 42 ) + 4 e^-1 (2) = 4 cdot 2 + 8 e^-1 = 8 + 8e
Calculando cada integral:

Resposta

O fluxo de através de é .

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