Calcule , o fluxo de através de , em cada caso:
(e) é o retângulo no plano orientada positivamente;

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície . Aqui, o campo vetorial é dado por , e a superfície é um retângulo no plano com os limites e . Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície e saber como calcular o vetor normal à superfície orientada positivamente.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o vetor normal à superfície . Como a superfície está no plano , isso significa que é constante. Para superfícies planas, o vetor normal é perpendicular a todos os vetores tangentes à superfície. No nosso caso, como é constante, o vetor normal será na direção do eixo . Como a orientação é positiva, o vetor normal será na direção positiva de , ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos expressar a integral de fluxo. O fluxo é dado por:
Substituindo e , temos:

Passo 4

Agora, vamos integrar essa expressão sobre a superfície . As variáveis de integração são e , já que é constante ( ).
Note que com se torna .

Passo 5

Vamos calcular a integral interna em relação a :

Passo 6

Agora, integramos o resultado em relação a :
Calculando cada integral:

Resposta

O fluxo de através de é .

Exercícios relacionados

Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças na partícula que se move o longo da curva C. (Ex 45 a 48)

: ao longo de segmentos de reta de até até
Calcule a integral dupla: k.
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado:
(a) em torno do eixo- ;
Use o Teorema de Stokes para calcular em cada caso: (suponha orientação positiva em todos os casos)
(a) é a circunferência no plano ;