Definimos um Toro Sólido como o sólido obtido pela rotação de um círculo de raio
centrado em
e com
em torno do eixo-
. Chamaremos de Raio de Rotação a medida
e de Raio da Secção Transversal a medida
. Calcule o volume de um toro com raio da secção transversal
e raio
utilizando o método das fatias. Faça uma representação gráfica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume de um toro sólido, que é aquele shape em forma de donut, usando o método das fatias. A gente vai trabalhar com dois raios: o raio da rotação
e o raio da seção transversal
. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular volumes de sólidos de rotação usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o toro. Imagine um círculo de raio
centrado em
no plano xy. Quando giramos esse círculo em torno do eixo y, ele forma o toro. Para usar o método das fatias, vamos pensar em fatias verticais do toro e calcular o volume de cada uma dessas fatias.
Passo 3
O método das fatias envolve integrar a área de cada fatia multiplicada pela profundidade (nesse caso, a espessura infinitesimal
). Para isso, precisamos expressar a relação entre
e
do círculo que está girando.
A equação de um círculo centrado em
é:
Onde
e
.
Passo 4
Vamos resolver essa equação para
em função de
:
Isso nos dá duas funções:
Passo 5
A largura de cada fatia no eixo x é:
Passo 6
Agora, para encontrar o volume, usamos a fórmula do método das fatias:
Aqui,
e os limites de integração vão de
a
porque o círculo gira em torno do eixo y.
Substituindo:
Passo 7
Agora, vamos calcular a integral:
Reconhecemos que essa é a integral da área de um semicírculo de raio 2. A integral de
de
a
é igual a
.
Portanto:
Passo 8
Substituindo esse resultado na expressão do volume:
Passo 9
Para representar graficamente o toro, você pode desenhar um círculo de raio 2 centrado em (4, 0) no plano xy. Em seguida, imagine girar esse círculo em torno do eixo y, criando a forma de donut. Essa visualização ajuda a entender como o sólido de rotação se forma.
Resposta
O volume do toro é
unidades cúbicas.