Definimos um Toro Sólido como o sólido obtido pela rotação de um círculo de raio r centrado em R, 0 e com R > r em torno do eixo- y. Chamaremos de Raio de Rotação a medida R e de Raio da Secção Transversal a medida r. Calcule o volume de um toro com raio da secção transversal r = 2 e raio R=4 utilizando o método das fatias. Faça uma representação gráfica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume de um toro sólido, que é aquele shape em forma de donut, usando o método das fatias. A gente vai trabalhar com dois raios: o raio da rotação e o raio da seção transversal . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular volumes de sólidos de rotação usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o toro. Imagine um círculo de raio centrado em no plano xy. Quando giramos esse círculo em torno do eixo y, ele forma o toro. Para usar o método das fatias, vamos pensar em fatias verticais do toro e calcular o volume de cada uma dessas fatias.

Passo 3

O método das fatias envolve integrar a área de cada fatia multiplicada pela profundidade (nesse caso, a espessura infinitesimal ). Para isso, precisamos expressar a relação entre e do círculo que está girando.
A equação de um círculo centrado em é:
Onde e .

Passo 4

Vamos resolver essa equação para em função de :
Isso nos dá duas funções:

Passo 5

A largura de cada fatia no eixo x é:

Passo 6

Agora, para encontrar o volume, usamos a fórmula do método das fatias:
Aqui, e os limites de integração vão de a porque o círculo gira em torno do eixo y.
Substituindo:

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral:
Reconhecemos que essa é a integral da área de um semicírculo de raio 2. A integral de de a é igual a .
Portanto:

Passo 8

Substituindo esse resultado na expressão do volume:

Passo 9

Para representar graficamente o toro, você pode desenhar um círculo de raio 2 centrado em (4, 0) no plano xy. Em seguida, imagine girar esse círculo em torno do eixo y, criando a forma de donut. Essa visualização ajuda a entender como o sólido de rotação se forma.

Resposta

O volume do toro é unidades cúbicas.

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