Calcule a massa de um arame fino com o formato da curva se a função de densidade for proporcional à distância da origem. (Ex.42)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a massa de um arame fino que segue a curva dada por e para entre 0 e 1. A densidade do arame é proporcional à distância da origem. Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente a integral de linha para massa, e entender como a distância da origem se relaciona com a densidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a densidade . Como ela é proporcional à distância da origem, podemos escrever , onde é a constante de proporcionalidade. Mas como não foi especificado, podemos considerar para simplificar, já que estamos interessados na massa relativa.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a expressão para a distância da origem. Dada a parametrização da curva, temos:
Então, a densidade .

Passo 4

Em seguida, precisamos calcular o elemento de comprimento . Para curvas parametrizadas, .
Vamos calcular e :

Passo 5

Agora, vamos calcular :
Expandindo os quadrados:
Calculando dentro da raiz:
Portanto:

Passo 6

Agora temos tudo para calcular a massa do arame:

Passo 7

Vamos resolver a integral:
Aplicando os limites de 0 a 1:

Resposta

A massa do arame é .

Exercícios relacionados

Use o Teorema de Gauss para calcular o fluxo de através de (orientada positivamente) em cada caso:
(a) é a superfície do paralelepípedo delimitado pelos planos coordenados e por e ;
Calcule , o fluxo de através de , em cada caso:
(d) é a parte da superfície situada acima do plano e orientada para cima;
Calcule a integral dupla: k.