Calcule a massa de um arame fino com o formato da curva
se a função de densidade
for proporcional à distância da origem. (Ex.42)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a massa de um arame fino que segue a curva dada por
e
para
entre 0 e 1. A densidade
do arame é proporcional à distância da origem. Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente a integral de linha para massa, e entender como a distância da origem se relaciona com a densidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a densidade
. Como ela é proporcional à distância da origem, podemos escrever
, onde
é a constante de proporcionalidade. Mas como
não foi especificado, podemos considerar
para simplificar, já que estamos interessados na massa relativa.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a expressão para a distância da origem. Dada a parametrização da curva, temos:
Então, a densidade
.
Passo 4
Em seguida, precisamos calcular o elemento de comprimento
. Para curvas parametrizadas,
.
Vamos calcular
e
:
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
Expandindo os quadrados:
Calculando dentro da raiz:
Portanto:
Passo 6
Agora temos tudo para calcular a massa
do arame:
Passo 7
Vamos resolver a integral:
Aplicando os limites de 0 a 1:
Resposta
A massa do arame é
.
Exercícios relacionados
Use o Teorema de Gauss para calcular o fluxo de
através de
(orientada positivamente) em cada caso:
(a) é a superfície do paralelepípedo delimitado pelos planos coordenados e por
e
;
(a)
Calcule
, o fluxo de
através de
, em cada caso:
(d) é a parte da superfície
situada acima do plano
e orientada para cima;
(d)
Calcule a integral dupla: k.