Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças na partícula que se move o longo da curva C. (Ex 45 a 48) : ao longo de segmentos de reta de até até
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo de forças que atua sobre uma partícula que se move ao longo da curva . A curva é composta por dois segmentos de reta: de até e de até . Nosso objetivo aqui é calcular o trabalho realizado por esse campo de forças nessa trajetória. Para isso, vamos usar o conceito de integral de linha no cálculo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir a curva em dois segmentos menores para facilitar nossos cálculos:
Segmento : De até
Segmento : De até
Assim, o trabalho total será a soma dos trabalhos realizados em cada um desses segmentos.
Passo 3
Vamos parametrizar cada segmento. Vamos começar com o segmento .
Para parametrize uma reta que vai de um ponto para um ponto , usamos a fórmula:
Então, para :
Passo 4
Agora, calculamos a derivada de em relação a , que representa o vetor tangente à curva:
Passo 5
Vamos avaliar o campo de forças na parametrização :
Passo 6
O trabalho ao longo do segmento é dado pela integral de linha:
Calculando o produto escalar:
Agora, integramos:
Passo 7
Vamos repetir o mesmo processo para o segmento :
Parametrizando :
Calculando a derivada:
Avaliando em :
Calculando o produto escalar:
Simplificando:
Agora, integramos para encontrar :
Passo 8
Agora, somamos os trabalhos dos dois segmentos para obter o trabalho total realizado pelo campo de forças ao longo da curva :
Resposta
O trabalho realizado pelo campo de forças ao longo da curva é aproximadamente joules.