Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças F na partícula que se move o longo da curva C. (Ex 45 a 48)
F(x, y, z) = (x + y) * i + (x * y) * j - (z^2) * k
C : ao longo de segmentos de reta de (0, 0, 0) até 1,3,1 até (2, -1, 4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo de forças que atua sobre uma partícula que se move ao longo da curva . A curva é composta por dois segmentos de reta: de até e de até . Nosso objetivo aqui é calcular o trabalho realizado por esse campo de forças nessa trajetória. Para isso, vamos usar o conceito de integral de linha no cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a curva em dois segmentos menores para facilitar nossos cálculos:
  1. Segmento : De até
  2. Segmento : De até
Assim, o trabalho total será a soma dos trabalhos realizados em cada um desses segmentos.

Passo 3

Vamos parametrizar cada segmento. Vamos começar com o segmento .
Para parametrize uma reta que vai de um ponto para um ponto , usamos a fórmula:
Então, para :

Passo 4

Agora, calculamos a derivada de em relação a , que representa o vetor tangente à curva:

Passo 5

Vamos avaliar o campo de forças na parametrização :

Passo 6

O trabalho ao longo do segmento é dado pela integral de linha:
Calculando o produto escalar:
Agora, integramos:

Passo 7

Vamos repetir o mesmo processo para o segmento :
Parametrizando :
Calculando a derivada:
Avaliando em :
Calculando o produto escalar:
Simplificando:
Agora, integramos para encontrar :

Passo 8

Agora, somamos os trabalhos dos dois segmentos para obter o trabalho total realizado pelo campo de forças ao longo da curva :

Resposta

O trabalho realizado pelo campo de forças ao longo da curva é aproximadamente joules.

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