Calcule a integral dupla primeiro em relação a x e depois em relação a y
integral duplaD(6 x^2-2 x) d A onde D é limitado por 1 <= x <= 4,0 <= y <= 2.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular uma integral dupla da função na região que é limitada por e . Para isso, vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a função integral1^4 (6x^2 - 2x) , dx em relação a integral 6x^2 , dx = 6 cdot x^33 = 2x^3 , mantendo integral -2x , dx = -2 cdot x^22 = -x^2 constante. A integral fica assim:
2x^3 - x^2 |1^4
Vamos resolver essa integral passo a passo:
  1. Integrar 2(4)^3 - (4)^2 = 2 cdot 64 - 16 = 128 - 16 = 112 :
    2(1)^3 - (1)^2 = 2 cdot 1 - 1 = 2 - 1 = 1
  2. Integrar 112 - 1 = 111 :
Agora, juntando as duas integrais:
Substituímos os limites de integração:
  • Para :
  • Para :
Então, a integral em resulta em:

Passo 3

Agora, vamos integrar o resultado integral0^2 111 , dy = 111 cdot y |0^2 = 111 cdot 2 - 111 cdot 0 = 222 - 0 = 222 em relação a , de a :

Resposta

O valor da integral dupla é .

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