Desenhe as superfícies paramétricas F(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
F(u, v) = (R sen(v) cos(u), R sen(v) sen(u), R cos(v)) com (u, v) em [0, 2 pi] x [0, pi]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para desenhar as superfícies paramétricas dadas por , onde varia de a e de a . Basicamente, vamos trabalhar com superfícies paramétricas, que são formas representadas por equações que dependem de dois parâmetros, e . Para resolver isso, vamos identificar que tipo de superfície estamos lidando e entender as fórmulas envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as equações paramétricas:
Essas equações podem parecer complicadas, mas elas têm uma estrutura familiar se pensarmos em coordenadas esféricas. De fato, essas são as equações paramétricas de uma esfera com raio .

Passo 3

Para confirmar que é uma esfera, podemos verificar se essas coordenadas satisfazem a equação da esfera . Vamos substituir:
Sabemos que , então:
Isso confirma que estamos falando de uma esfera.

Passo 4

Agora, vamos entender o que cada parâmetro faz:
  • é o ângulo que varia ao redor do eixo , de a , representando uma volta completa.
  • é o ângulo a partir do polo norte ( ) até o polo sul ( ), controlando a “altura” na esfera.
Esses parâmetros permitem cobrir toda a superfície da esfera variando e nos intervalos dados.

Passo 5

Para desenhar a superfície, podemos imaginar como variações de e movem um ponto na esfera:
  • Fixando e variando , desenhamos um círculo de latitude.
  • Fixando e variando , desenhamos um círculo de longitude.
Com isso, ao combinar todos esses círculos, criamos a esfera completa.

Resposta

A superfície paramétrica dada representa uma esfera de raio . Portanto, desenhando a superfície para e , obtemos uma esfera completa de raio .

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