Desenhe as superfícies paramétricas
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para desenhar as superfícies paramétricas dadas por , onde
varia de
a
e
de
a
. Basicamente, vamos trabalhar com superfícies paramétricas, que são formas representadas por equações que dependem de dois parâmetros,
e
. Para resolver isso, vamos identificar que tipo de superfície estamos lidando e entender as fórmulas envolvidas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as equações paramétricas:
Essas equações podem parecer complicadas, mas elas têm uma estrutura familiar se pensarmos em coordenadas esféricas. De fato, essas são as equações paramétricas de uma esfera com raio
.
Passo 3
Para confirmar que é uma esfera, podemos verificar se essas coordenadas satisfazem a equação da esfera
. Vamos substituir:
Sabemos que , então:
Isso confirma que estamos falando de uma esfera.
Passo 4
Agora, vamos entender o que cada parâmetro faz:
-
é o ângulo que varia ao redor do eixo , de a , representando uma volta completa. -
é o ângulo a partir do polo norte ( ) até o polo sul ( ), controlando a “altura” na esfera.
Esses parâmetros permitem cobrir toda a superfície da esfera variando
e
nos intervalos dados.
Passo 5
Para desenhar a superfície, podemos imaginar como variações de
e
movem um ponto na esfera:
- Fixando
e variando , desenhamos um círculo de latitude. - Fixando
e variando , desenhamos um círculo de longitude.
Com isso, ao combinar todos esses círculos, criamos a esfera completa.
Resposta
A superfície paramétrica dada representa uma esfera de raio
. Portanto, desenhando a superfície para
e
, obtemos uma esfera completa de raio
.
Exercícios relacionados
Determine o domínio das seguintes funções vetoriais reais.
(a) ;
(a)
Desenhe a superfície de nível ou implícita
correspondente a
Substitua a integral cartesiana por uma integral equivalente. Em seguida, calcule a integral polar.
Calcule a integral dupla primeiro em relação a x e depois em relação a y
onde D é limitado por
.