Sejam
e
. Verifique as identidades.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se o rotacional do vetor
é igual a zero, ou seja, mostrar que
. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de rotacional (também conhecido como curl) de um campo vetorial, que faz parte do cálculo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o rotacional. O rotacional de um vetor
é dado pela seguinte fórmula:
Isso nos ajuda a encontrar a tendência de rotação do campo vetorial em cada direção.
Passo 3
Aplicando essa fórmula ao vetor
, temos:
Agora, vamos calcular cada componente do rotacional:
-
Componente i:
-
Componente j:
-
Componente k:
Passo 4
Como todas as componentes resultaram em zero, juntando tudo temos:
Resposta
Portanto, verificamos que
.
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Calcule a integral dupla primeiro em relação a x e depois em relação a y
onde D é limitado por
.
Substitua a integral cartesiana por uma integral equivalente. Em seguida, calcule a integral polar.
Substitua a integral cartesiana por uma integral equivalente. Em seguida, calcule a integral polar.
Calcule pelo menos 3 das seguintes integrais
(e)
(e)