Substitua a integral cartesiana por uma integral equivalente. Em seguida, calcule a integral polar.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla na coordenada cartesiana:
O objetivo é substituir essa integral cartesiana por uma equivalente em coordenadas polares e, em seguida, calcular o valor da integral. Para isso, precisamos entender como transformar as coordenadas e os limites de integração de cartesiano para polar.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Os limites são:
varia de 0 a 2
Para cada , varia de 0 a
Isso significa que estamos integrando sobre um triângulo no primeiro quadrante com vértices em , e .
Passo 3
Agora, vamos converter as coordenadas cartesianas para coordenadas polares. As fórmulas de conversão são:
E o elemento de área em coordenadas polares é:
Passo 4
Precisamos determinar os novos limites de integração em coordenadas polares. Observando a região triangular:
O ângulo varia de 0 a (45 graus), pois a reta que define o limite é .
O raio varia de 0 até , pois implica .
Passo 5
Vamos substituir na integral original. A função em coordenadas polares fica . Então, a integral em polares fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em relação a :
Passo 7
Substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Passo 8
Para resolver essa integral, fazemos a substituição, então . A integral fica: