Substitua a integral cartesiana por uma integral equivalente. Em seguida, calcule a integral polar.
integral0^2 integral0^y y d y d x

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla na coordenada cartesiana:
integral0^2 integral0^y y , dy , dx
O objetivo é substituir essa integral cartesiana por uma equivalente em coordenadas polares e, em seguida, calcular o valor da integral. Para isso, precisamos entender como transformar as coordenadas e os limites de integração de cartesiano para polar.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Os limites são:
  • varia de 0 a 2
  • Para cada , varia de 0 a
Isso significa que estamos integrando sobre um triângulo no primeiro quadrante com vértices em , e .

Passo 3

Agora, vamos converter as coordenadas cartesianas para coordenadas polares. As fórmulas de conversão são:
x = r cos theta y = r sin theta
E o elemento de área em coordenadas polares é:
dA = r , dr , dtheta

Passo 4

Precisamos determinar os novos limites de integração em coordenadas polares. Observando a região triangular:
  • O ângulo varia de 0 a (45 graus), pois a reta que define o limite é .
  • O raio varia de 0 até , pois implica .

Passo 5

Vamos substituir na integral original. A função integral0^pi4 integral0^2cos theta (r sin theta) cdot r , dr , dtheta = integral0^pi4 integral0^2cos theta r^2 sin theta , dr , dtheta em coordenadas polares fica . Então, a integral em polares fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^2cos theta r^2 , dr = [ r^33 ]0^2cos theta = 13 ( 2cos theta )^3 = 83 cos^3 theta :

Passo 7

Substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^pi4 83 cos^3 theta sin theta , dtheta = 83 integral0^pi4 sin thetacos^3 theta , dtheta

Passo 8

Para resolver essa integral, fazemos a substituição 83 integral1^raiz22 -duu^3 = 83 integralraiz22^1 duu^3 = 83 [ -12u^2 ]raiz22^1 , então 83 ( -12(1)^2 + 12(raiz22)^2 ) = 83 ( -12 + 12 cdot 12 ) = 83 ( -12 + 1 ) = 83 cdot 12 = 43 . A integral fica:
Calculando:

Resposta

O valor final da integral é .

Exercícios relacionados

Desenhe as superfícies paramétricas F(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
F(u, v) = (R sen(v) cos(u), R sen(v) sen(u), R cos(v)) com (u, v) em [0, 2 pi] x [0, pi]
Determine o domínio das seguintes funções vetoriais reais.
(a) f(t) = (cosh(t), -3);
Calcule a integral dupla primeiro em relação a x e depois em relação a y
integral duplaD(6 x^2-2 x) d A onde D é limitado por 1 <= x <= 4,0 <= y <= 2.
Sejam r = x i + y j + z k e r = ||r||. Verifique as identidades. nabla x r = 0.