Calcule a integral dupla primeiro em relação a x e depois em relação a y
integral duplaD(x sen(y)) d A onde D é limitado por 0 <= x <= 2,0 <= y <= pi2.

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla , onde a região está delimitada por e . Isso envolve conhecimentos de cálculo de integrais duplas, onde integraremos primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral dupla como duas integrais iteradas. Como vamos integrar primeiro em relação a integral0^pi2 ( integral0^2 x sin(y) , dx ) dy , mantemos constante nessa parte:

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral interna sin(y) integral0^2 x , dx . Como é constante em relação a , podemos tratá-la como uma constante:

Passo 4

Calculamos a integral de integral x , dx = x^22 em relação a 2^22 - 0^22 = 42 = 2 :
Aplicando os limites de 0 a 2:

Passo 5

Substituímos o resultado da integral interna de volta na integral externa:
integral0^pi2 sin(y) cdot 2 , dy = 2 integral0^pi2 sin(y) , dy

Passo 6

Agora, resolvemos a integral integral sin(y) , dy = -cos(y) :
- cos(pi2) + cos(0) = -0 + 1 = 1
Aplicando os limites de 0 a :

Resposta

Multiplicando pelo 2 que tínhamos antes:
2 times 1 = 2
Portanto, o valor da integral dupla é 2.

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