Seja a parte do paraboloide que está acima do plano . Calcule fluxo do campo vetorial através de S .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície , que é a parte do paraboloide situada acima do plano . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema da Divergência, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. O fluxo mede a quantidade de campo que atravessa a superfície. Para calcular isso, usamos a integral de superfície:
Onde é o vetor normal à superfície .

Passo 3

Mas, para facilitar a resolução, vamos aplicar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a divergência do campo no volume delimitado por essa superfície. Porém, nossa superfície não é fechada. Então, vamos fechá-la adicionando a superfície , que é o disco no plano com .
Pelo Teorema da Divergência:

Passo 4

Vamos calcular a divergência de :
Após calcular, percebemos que . Isso simplifica nossa equação para:

Passo 5

Agora, vamos calcular o fluxo através do disco . O vetor normal para é (apontando para baixo). Então:
Como no disco , a integral fica:
Vamos usar coordenadas polares para simplificar:
Integrando em :

Resposta

Portanto, o fluxo do campo vetorial através da superfície é:

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Calcule o volume do sólido e esboce o sólido.
Do sólido que se encontra abaixo do parabolóide e acima do retângulo
Calcule a integral dupla primeiro em relação a x e depois em relação a y
onde D é limitado por .
Esboce o domínio da função em cada um dos casos a seguir.
.
Determine o volume do sólido formado pela região abaixo do plano e acima do plano xy e está no primeiro quadrante.