Seja a parte do paraboloide que está acima do plano . Calcule fluxo do campo vetorial através de S .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície , que é a parte do paraboloide situada acima do plano . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema da Divergência, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. O fluxo mede a quantidade de campo que atravessa a superfície. Para calcular isso, usamos a integral de superfície:
Onde é o vetor normal à superfície .
Passo 3
Mas, para facilitar a resolução, vamos aplicar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a divergência do campo no volume delimitado por essa superfície. Porém, nossa superfície não é fechada. Então, vamos fechá-la adicionando a superfície , que é o disco no plano com .
Pelo Teorema da Divergência:
Passo 4
Vamos calcular a divergência de :
Após calcular, percebemos que . Isso simplifica nossa equação para:
Passo 5
Agora, vamos calcular o fluxo através do disco . O vetor normal para é (apontando para baixo). Então:
Como no disco , a integral fica:
Vamos usar coordenadas polares para simplificar:
Integrando em :
Resposta
Portanto, o fluxo do campo vetorial através da superfície é: