Calcule o volume do sólido e esboce o sólido.
Do sólido que se encontra abaixo do parabolóide e acima do retângulo

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido que está abaixo do parabolóide e acima de um retângulo definido por e . Para isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, que nos ajudam a encontrar volumes de regiões tridimensionais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um parabolóide. A equação representa uma superfície parabólica que abre para baixo, já que os coeficientes de e são negativos. O vértice dessa parábola está no ponto (0, 0, 4).

Passo 3

O retângulo está no plano , com variando de 0 a 1 e variando de 0 a 1. Isso significa que estamos interessados na região acima desse retângulo e abaixo do parabolóide.

Passo 4

Para encontrar o volume entre essas duas superfícies, usamos uma integral dupla sobre a região . A fórmula geral para o volume é:
onde é a função que descreve a superfície superior, que neste caso é .

Passo 5

Vamos expressar a integral dupla com os limites de integração definidos pelo retângulo . Assim, temos:

Passo 6

Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a :
Simplificando:

Passo 7

Agora, integramos o resultado em relação a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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Calcule a integral dupla primeiro em relação a x e depois em relação a y
onde D é limitado por .
Esboce o domínio da função em cada um dos casos a seguir.
.
Seja a parte do paraboloide que está acima do plano . Calcule fluxo do campo vetorial através de S .
Esboce o domínio da função em cada um dos casos a seguir.
.