Calcule o volume do sólido e esboce o sólido.
Do sólido que se encontra abaixo do parabolóide
e acima do retângulo
Do sólido que se encontra abaixo do parabolóide
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido que está abaixo do parabolóide
e acima de um retângulo
definido por
e
. Para isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, que nos ajudam a encontrar volumes de regiões tridimensionais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um parabolóide. A equação
representa uma superfície parabólica que abre para baixo, já que os coeficientes de
e
são negativos. O vértice dessa parábola está no ponto (0, 0, 4).
Passo 3
O retângulo
está no plano
, com
variando de 0 a 1 e
variando de 0 a 1. Isso significa que estamos interessados na região acima desse retângulo e abaixo do parabolóide.
Passo 4
Para encontrar o volume entre essas duas superfícies, usamos uma integral dupla sobre a região
. A fórmula geral para o volume
é:
onde
é a função que descreve a superfície superior, que neste caso é
.
Passo 5
Vamos expressar a integral dupla com os limites de integração definidos pelo retângulo
. Assim, temos:
Passo 6
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, integramos o resultado em relação a
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Calcule a integral dupla primeiro em relação a x e depois em relação a y
onde D é limitado por
.
Esboce o domínio da função
em cada um dos casos a seguir.
.
Seja
a parte do paraboloide
que está acima do plano
. Calcule
fluxo do campo vetorial
através de S .
Esboce o domínio da função
em cada um dos casos a seguir.
.