Esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou uma integral dupla e quer inverter a ordem de integração. O conteúdo aqui é de Cálculo Multivariável, especificamente sobre integrais duplas e regiões de integração. Para resolver isso, vamos precisar entender bem como a região de integração está definida e então reescrevê-la mudando a ordem dos limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração original. A integral é:
Aqui, varia de 0 a 1. Para cada valor de , varia de 2 até . Vamos imaginar isso em um gráfico com no eixo horizontal e no vertical.

Passo 3

Vamos esboçar a região:
  • Quando , varia de 2 até 4.
  • Quando , varia de 2 até .
Isso significa que a linha superior da região é e a linha inferior é . A região é um trapézio que vai de a , entre e .

Passo 4

Agora, vamos inverter a ordem de integração. Em vez de integrar primeiro em e depois em , vamos integrar primeiro em e depois em .
Para isso, precisamos expressar em termos de . A equação da linha superior é , que podemos rearranjar para .

Passo 5

Determinar os novos limites de integração:
  • Primeiro, varia de 2 até 4.
  • Para cada , varia de 0 até .

Passo 6

Então, a integral com a ordem de integração invertida fica:

Resposta

A integral dupla com a ordem de integração invertida é:

Exercícios relacionados

Esboce a região de integração e calcule as integrais duplas abaixo.
Calcule a integral dupla sobre a região dada.
Esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida.
Verificar se a função, ou as funções dadas, constituem solução da EDO.
.