Esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me enviou uma integral dupla e quer inverter a ordem de integração. O conteúdo aqui é de Cálculo Multivariável, especificamente sobre integrais duplas e regiões de integração. Para resolver isso, vamos precisar entender bem como a região de integração está definida e então reescrevê-la mudando a ordem dos limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração original. A integral é:
Aqui,
varia de 0 a 1. Para cada valor de
,
varia de 2 até
. Vamos imaginar isso em um gráfico com
no eixo horizontal e
no vertical.
Passo 3
Vamos esboçar a região:
- Quando
, varia de 2 até 4. - Quando
, varia de 2 até .
Isso significa que a linha superior da região é
e a linha inferior é
. A região é um trapézio que vai de
a
, entre
e
.
Passo 4
Agora, vamos inverter a ordem de integração. Em vez de integrar primeiro em
e depois em
, vamos integrar primeiro em
e depois em
.
Para isso, precisamos expressar
em termos de
. A equação da linha superior é
, que podemos rearranjar para
.
Passo 5
Determinar os novos limites de integração:
- Primeiro,
varia de 2 até 4. - Para cada
, varia de 0 até .
Passo 6
Então, a integral com a ordem de integração invertida fica:
Resposta
A integral dupla com a ordem de integração invertida é:
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Esboce a região de integração e calcule as integrais duplas abaixo.
Calcule a integral dupla sobre a região
dada.
Esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida.
Verificar se a função, ou as funções dadas, constituem solução da EDO.
.