Calcule a integral dupla sobre a região indicada: integral duplaR cos (x+y) d A, em que R é definido por: 0 <= x <= pi e 0 <= y <= pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral dupla de cos(x+y) sobre a região R, que é um quadrado definido por 0 <= x <= pi e 0 <= y <= pi. Isso envolve conhecimentos de cálculo multivariável, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como configurar e calcular integrais duplas em regiões retangulares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma integral dupla sobre uma região retangular pode ser separada em duas integrais iteradas. Isso significa que podemos integrar primeiro em relação a x e depois em relação a y, ou vice-versa. A função que vamos integrar é cos(x+y).

Passo 3

Vamos escolher integrar primeiro em relação a x. Então, nossa integral fica:
integral0^pi ( integral0^pi cos(x + y) , dx ) dy

Passo 4

Vamos resolver a integral interna, que é em relação a x:
integral0^pi cos(x + y) , dx
Para integrar cos(x + y) em relação a x, podemos fazer uma substituição simples. Seja u = x + y, então du = dx. Como y é tratado como constante nessa integral, os limites de integração em termos de u serão de y a pi + y.

Passo 5

Realizando a substituição:
integraly^pi + y cos(u) , du = sin(u) |y^pi + y = sin(pi + y) - sin(y)
Sabemos que sin(pi + y) = -sin(y), então:
-sin(y) - sin(y) = -2sin(y)

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^pi ( -2sin(y) ) dy = -2 integral0^pi sin(y) , dy

Passo 7

Calculamos a integral de sin(y):
integral sin(y) , dy = -cos(y)
Aplicando os limites de 0 a pi:
- cos(pi) + cos(0) = -(-1) + 1 = 1 + 1 = 2

Passo 8

Multiplicando pelo fator -2 que estava fora da integral:
-2 times 2 = -4

Resposta

O valor da integral dupla é -4.

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