Calcule a integral dupla sobre a região indicada: , em que é definido por: e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral dupla de sobre a região , que é um quadrado definido por e . Isso envolve conhecimentos de cálculo multivariável, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como configurar e calcular integrais duplas em regiões retangulares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma integral dupla sobre uma região retangular pode ser separada em duas integrais iteradas. Isso significa que podemos integrar primeiro em relação a e depois em relação a , ou vice-versa. A função que vamos integrar é .
Passo 3
Vamos escolher integrar primeiro em relação a . Então, nossa integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna, que é em relação a :
Para integrar em relação a , podemos fazer uma substituição simples. Seja , então . Como é tratado como constante nessa integral, os limites de integração em termos de serão de a .
Passo 5
Realizando a substituição:
Sabemos que sin(pi + y) = -sin(y), então:
-sin(y) - sin(y) = -2sin(y)
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^pi ( -2sin(y) ) dy = -2 integral0^pi sin(y) , dy
Passo 7
Calculamos a integral de sin(y):
integral sin(y) , dy = -cos(y)
Aplicando os limites de 0 a pi:
- cos(pi) + cos(0) = -(-1) + 1 = 1 + 1 = 2
Passo 8
Multiplicando pelo fator -2 que estava fora da integral: