Calcule a integral dupla sobre a região indicada: , em que é definido por: e

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral dupla de sobre a região , que é um quadrado definido por e . Isso envolve conhecimentos de cálculo multivariável, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como configurar e calcular integrais duplas em regiões retangulares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma integral dupla sobre uma região retangular pode ser separada em duas integrais iteradas. Isso significa que podemos integrar primeiro em relação a e depois em relação a , ou vice-versa. A função que vamos integrar é .

Passo 3

Vamos escolher integrar primeiro em relação a . Então, nossa integral fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna, que é em relação a :
Para integrar em relação a , podemos fazer uma substituição simples. Seja , então . Como é tratado como constante nessa integral, os limites de integração em termos de serão de a .

Passo 5

Realizando a substituição:
Sabemos que , então:

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:

Passo 7

Calculamos a integral de :
Aplicando os limites de a :

Passo 8

Multiplicando pelo fator que estava fora da integral:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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