Utilizando o conceito de mudança de variáveis, calcule as seguintes integrais: Considere a região do primeiro quadrante definida por
,
e
. Calcule
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. A questão nos dá uma região
no primeiro quadrante definida pela equação
, onde
e
. Precisamos calcular a integral dupla
. Vamos usar o conceito de mudança de variáveis para resolver essa integral.
Passo 2
Para facilitar a resolução, vamos usar coordenadas polares. Em coordenadas polares, qualquer ponto
é representado por
, onde
é a distância do ponto à origem e
é o ângulo em relação ao eixo
.
Passo 3
A região
é um quarto de círculo com raio 6 (já que
) no primeiro quadrante. Em coordenadas polares,
varia de 0 a 6 e
varia de 0 a
(90 graus).
Passo 4
A função que queremos integrar é
. Em coordenadas polares,
. Além disso, o elemento de área
em coordenadas polares é
.
Passo 5
Substituindo na integral, temos:
Simplificando, ficamos com:
Passo 6
Vamos resolver a integral em relação a
primeiro:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, resolvemos a integral em relação a
:
Resposta
Multiplicando os resultados das integrais, temos
. Portanto, o valor da integral dupla é 72.
Exercícios relacionados
Calcule a integral dupla sobre a região indicada:
, em que
é definido por:
e
Calcule a integral dupla sobre a região indicada:
, em que
é definido por:
e
Utilizando o conceito de mudança de variáveis, calcule as seguintes integrais:
Determine a massa da uma lâmina limitada pelas retas
e
, e pela função
, em que a densidade
.