Utilizando o conceito de mudança de variáveis, calcule as seguintes integrais: Considere a região do primeiro quadrante definida por , e . Calcule .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. A questão nos dá uma região no primeiro quadrante definida pela equação , onde e . Precisamos calcular a integral dupla . Vamos usar o conceito de mudança de variáveis para resolver essa integral.

Passo 2

Para facilitar a resolução, vamos usar coordenadas polares. Em coordenadas polares, qualquer ponto é representado por , onde é a distância do ponto à origem e é o ângulo em relação ao eixo .

Passo 3

A região é um quarto de círculo com raio 6 (já que ) no primeiro quadrante. Em coordenadas polares, varia de 0 a 6 e varia de 0 a (90 graus).

Passo 4

A função que queremos integrar é . Em coordenadas polares, . Além disso, o elemento de área em coordenadas polares é .

Passo 5

Substituindo na integral, temos:
Simplificando, ficamos com:

Passo 6

Vamos resolver a integral em relação a primeiro:
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, resolvemos a integral em relação a :

Resposta

Multiplicando os resultados das integrais, temos . Portanto, o valor da integral dupla é 72.

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