Utilizando o conceito de mudança de variáveis, calcule as seguintes integrais: Considere a região do primeiro quadrante definida por R=(x, y) in R^2 mid x^2+y^2 <= 36, x >= 0 e y >= 0. Calcule integral duplaR x d A.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. A questão nos dá uma região no primeiro quadrante definida pela equação , onde e . Precisamos calcular a integral dupla . Vamos usar o conceito de mudança de variáveis para resolver essa integral.

Passo 2

Para facilitar a resolução, vamos usar coordenadas polares. Em coordenadas polares, qualquer ponto é representado por , onde é a distância do ponto à origem e é o ângulo em relação ao eixo .

Passo 3

A região é um quarto de círculo com raio 6 (já que ) no primeiro quadrante. Em coordenadas polares, varia de 0 a 6 e varia de 0 a (90 graus).

Passo 4

A função que queremos integrar é . Em coordenadas polares, . Além disso, o elemento de área em coordenadas polares é .

Passo 5

Substituindo na integral, temos:
integral duplaR x , dA = integral0^pi2 integral0^6 (rcostheta) cdot r , dr , dtheta
Simplificando, ficamos com:
integral0^pi2 integral0^6 r^2costheta , dr , dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral em relação a integral0^6 r^2 , dr = [ r^33 ]0^6 = 6^33 - 0 = 2163 = 72 primeiro:
72 integral0^pi2 costheta , dtheta
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, resolvemos a integral em relação a integral0^pi2 costheta , dtheta = [ sintheta ]0^pi2 = sin(pi2) - sin(0) = 1 - 0 = 1 :

Resposta

Multiplicando os resultados das integrais, temos . Portanto, o valor da integral dupla é 72.

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