Utilizando o conceito de mudança de variáveis, calcule as seguintes integrais: integral-2^2 integral0^raiz4-y^2 integralraizx^2+y^2^2 x z d z d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla usando o conceito de mudança de variáveis. O exercício nos pede para calcular:
integral-2^2 integral0^raiz4-y^2 integralraizx^2+y^2^2 x z , dz , dx , dy
Aqui, estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente com integrais triplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar para coordenadas cilíndricas, que facilitam a integração quando temos simetria circular, como é o caso aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região de integração. Observe que:
  • varia de a .
  • Para cada , varia de a .
  • E para cada , varia de a .
Essa configuração sugere que estamos lidando com uma área circular no plano (pois ) e vai de um cone ( ) até o plano .

Passo 3

Para simplificar a integração, vamos mudar para coordenadas cilíndricas. As coordenadas cilíndricas ( x = r costheta, y = r sintheta, z = z ) são relacionadas às cartesianas ( ) por:
O jacobiano dessa transformação é , ou seja, .

Passo 4

Agora, vamos determinar os novos limites de integração em coordenadas cilíndricas:
  • integral-pi2^pi2 integral0^2 integralr^2 (r costheta) z cdot r , dz , dr , dtheta varia de r costheta cdot z cdot r = r^2 costheta cdot z a (pois , então ).
  • varia de a (já que , estamos no lado direito do círculo).
  • varia de a (do cone ao plano).
Então, a integral fica:
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 5

Vamos agora resolver a integral passo a passo:
  1. Integral em integralr^2 z , dz = [12 z^2]r^2 = 12(4) - 12(r^2) = 2 - 12 r^2 :
integral0^2 r^2 costheta (2 - 12 r^2) dr = costheta integral0^2 (2r^2 - 12 r^4) dr
  1. Integral em = costheta [23 r^3 - 110 r^5]0^2 = costheta (163 - 3210) = costheta (163 - 165) :
= costheta (80 - 4815) = costheta cdot 3215
integral-pi2^pi2 3215 costheta , dtheta = 3215 [sintheta]-pi2^pi2 = 3215 (sinpi2 - sin(-pi2))
= 3215 (1 - (-1)) = 3215 cdot 2 = 6415
  1. Integral em :

Resposta

6415

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