Utilizando o conceito de mudança de variáveis, calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla usando o conceito de mudança de variáveis. O exercício nos pede para calcular:
Aqui, estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente com integrais triplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar para coordenadas cilíndricas, que facilitam a integração quando temos simetria circular, como é o caso aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região de integração. Observe que:
-
varia de a . - Para cada
, varia de a . - E para cada
, varia de a .
Essa configuração sugere que estamos lidando com uma área circular no plano
(pois
) e
vai de um cone (
) até o plano
.
Passo 3
Para simplificar a integração, vamos mudar para coordenadas cilíndricas. As coordenadas cilíndricas (
) são relacionadas às cartesianas (
) por:
O jacobiano dessa transformação é
, ou seja,
.
Passo 4
Agora, vamos determinar os novos limites de integração em coordenadas cilíndricas:
-
varia de a (pois , então ). -
varia de a (já que , estamos no lado direito do círculo). -
varia de a (do cone ao plano).
Então, a integral fica:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 5
Vamos agora resolver a integral passo a passo:
- Integral em
:
- Integral em
:
- Integral em
:
Resposta
Exercícios relacionados
Utilizando o conceito de mudança de variáveis, calcule as seguintes integrais: Considere a região do primeiro quadrante definida por
,
e
. Calcule
.
Calcule a integral dupla sobre a região indicada:
, em que
é definido por:
e
Determine a massa da uma lâmina limitada pelas retas
e
, e pela função
, em que a densidade
.
Determine a área da região hachurada, delimitada pelas curvas
.