Utilizando o conceito de mudança de variáveis, calcule as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla usando o conceito de mudança de variáveis. O exercício nos pede para calcular:
Aqui, estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente com integrais triplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar para coordenadas cilíndricas, que facilitam a integração quando temos simetria circular, como é o caso aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região de integração. Observe que:
  • varia de a .
  • Para cada , varia de a .
  • E para cada , varia de a .
Essa configuração sugere que estamos lidando com uma área circular no plano (pois ) e vai de um cone ( ) até o plano .

Passo 3

Para simplificar a integração, vamos mudar para coordenadas cilíndricas. As coordenadas cilíndricas ( ) são relacionadas às cartesianas ( ) por:
O jacobiano dessa transformação é , ou seja, .

Passo 4

Agora, vamos determinar os novos limites de integração em coordenadas cilíndricas:
  • varia de a (pois , então ).
  • varia de a (já que , estamos no lado direito do círculo).
  • varia de a (do cone ao plano).
Então, a integral fica:
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 5

Vamos agora resolver a integral passo a passo:
  1. Integral em :
  1. Integral em :
  1. Integral em :

Resposta

Exercícios relacionados

Utilizando o conceito de mudança de variáveis, calcule as seguintes integrais: Considere a região do primeiro quadrante definida por , e . Calcule .
Calcule a integral dupla sobre a região indicada: , em que é definido por: e
Determine a massa da uma lâmina limitada pelas retas e , e pela função , em que a densidade .
Determine a área da região hachurada, delimitada pelas curvas .