Calcule a integral dupla sobre as regiões gerais D . integral duplaD x d A, onde D=(x, y) mid 0 <= x <= pi, 0 <= y <= sen x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla integral duplaD x , dA onde a região D é definida por 0 <= x <= pi e . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos integrar em relação a 0 <= y <= sen x primeiro e depois em relação a y.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região D. Ela é limitada entre x = 0 e x = pi, e para cada x, y vai de 0 até . Isso significa que para cada valor de sen x, x varia de y até o valor da função seno nesse 0.

Passo 3

Agora, configuramos a integral dupla. Como estamos integrando x sobre a região D, a integral fica:
Aqui, integramos integral0^pi integral0^sen x x , dy , dx de y a , e depois integramos 0 de sen x a x.

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a y:
Como integral0^sen x x , dy é constante em relação a x, a integral fica:

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de integração por partes, onde escolhemos integral0^pi x sen x , dx e .

Passo 6

Aplicando integração por partes:
u = x Rightarrow du = dx
Então, a integral se torna:

Passo 7

Agora, avaliamos essa expressão de 0 a pi:
Substituindo [ -x cos x + sen x ]0^pi :
Substituindo x = pi:
Portanto, a diferença é - pi cos pi + sen pi = -pi (-1) + 0 = pi .

Resposta

O valor da integral dupla é pi.

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