Calcule a integral dupla sobre as regiões gerais D .
, onde
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral dupla
onde a região
é definida por
e . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos integrar em relação a
primeiro e depois em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. Ela é limitada entre
e
, e para cada
,
vai de
até . Isso significa que para cada valor de
,
varia de
até o valor da função seno nesse
.
Passo 3
Agora, configuramos a integral dupla. Como estamos integrando
sobre a região
, a integral fica:
Aqui, integramos
de
a , e depois integramos
de
a
.
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Como
é constante em relação a
, a integral fica:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de integração por partes, onde escolhemos
e .
Passo 6
Aplicando integração por partes:
Então, a integral se torna:
Passo 7
Agora, avaliamos essa expressão de
a
:
Substituindo
:
Substituindo
:
Portanto, a diferença é
.
Resposta
O valor da integral dupla é
.