Calcule a integral dupla sobre as regiões gerais D . , onde

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla onde a região é definida por e . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos integrar em relação a primeiro e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . Ela é limitada entre e , e para cada , vai de até . Isso significa que para cada valor de , varia de até o valor da função seno nesse .

Passo 3

Agora, configuramos a integral dupla. Como estamos integrando sobre a região , a integral fica:
Aqui, integramos de a , e depois integramos de a .

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Como é constante em relação a , a integral fica:

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de integração por partes, onde escolhemos e .

Passo 6

Aplicando integração por partes:
Então, a integral se torna:

Passo 7

Agora, avaliamos essa expressão de a :
Substituindo :
Substituindo :
Portanto, a diferença é .

Resposta

O valor da integral dupla é .

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Calcule a integral dupla sobre os retangulos . , onde
Calcule a integral dupla sobre os retangulos . , onde
Um objeto de 10 cm de altura é colocado a 1 m de distância do vértice de um espelho esférico convexo de rádio de curvatura .
a) Calcular a posição e o tamanho da imagem.
b) Fazer o traçado de raios.
Um objeto está colocado a 60 cm do vértice de um espelho esférico côncavo. A imagem gerada pelo espelho é real e invertida, e seu tamanho é metade do tamanho do objeto.
a) Calcular a posição da imagem e o raio de curvatura do espelho.
b) Fazer o traçado de raios.