Calcule a integral dupla sobre os retangulos . , onde

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla sobre o retângulo da função . Isso envolve cálculo integral, mais especificamente integrais duplas, que servem para encontrar o volume sob uma superfície definida por uma função de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral dupla. Imagine que a gente quer somar pequenas porções de área sobre o retângulo e multiplicar cada uma delas pelo valor da função nesse ponto. Para isso, escolhemos a ordem de integração. Vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 3

A integral dupla fica assim:
Vamos focar na integral interna, que é com respeito a :
Aqui, percebemos que podemos fazer uma substituição para simplificar a integração.

Passo 4

Vamos fazer a substituição , o que implica que ou . Substituindo na integral interna:
A integral de é conhecida, é a função arco-tangente ( ).

Passo 5

Integrando, temos:
Agora, voltamos à integral externa:
Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição novamente.

Passo 6

Vamos fazer , então ou . Mudando os limites:
  • Quando ,
  • Quando ,
Substituindo na integral:
Essa integral pode ser resolvida por partes.

Passo 7

Vamos usar integração por partes, onde escolhemos:
Aplicando a fórmula de integração por partes :
A segunda integral pode ser resolvida por substituição: , .

Passo 8

A segunda integral fica:
Usando , ou :
Esta integral pode ser resolvida por frações parciais:
Portanto:

Passo 9

Voltando à integração por partes:
Agora aplicamos os limites de integração de a :
Calculando em :
Calculando em :
Subtraindo os valores:
Simplificando:
Como , temos:

Resposta

Portanto, o valor da integral dupla é:

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