Calcule a integral dupla sobre os retangulos . , onde
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla sobre o retângulo da função . Isso envolve cálculo integral, mais especificamente integrais duplas, que servem para encontrar o volume sob uma superfície definida por uma função de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral dupla. Imagine que a gente quer somar pequenas porções de área sobre o retângulo e multiplicar cada uma delas pelo valor da função nesse ponto. Para isso, escolhemos a ordem de integração. Vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .
Passo 3
A integral dupla fica assim:
Vamos focar na integral interna, que é com respeito a :
Aqui, percebemos que podemos fazer uma substituição para simplificar a integração.
Passo 4
Vamos fazer a substituição , o que implica que ou . Substituindo na integral interna:
A integral de é conhecida, é a função arco-tangente ().
Passo 5
Integrando, temos:
Agora, voltamos à integral externa:
integral1^2 arctan(1x) , dx
Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição novamente.
Passo 6
Vamos fazer integral1^2 arctan(1x) , dx = integral1^1/2 arctan(t) cdot (-1t^2) , dt = integral1/2^1 arctan(t)t^2 , dt , então ou . Mudando os limites:
Quando ,
Quando ,
Substituindo na integral:
Essa integral pode ser resolvida por partes.
Passo 7
Vamos usar integração por partes, onde escolhemos:
u = arctan(t) Rightarrow du = 11 + t^2 , dt
dv = 1t^2 , dt Rightarrow v = -1t
Aplicando a fórmula de integração por partes integral arctan(t)t^2 , dt = -arctan(t)t + integral 1t(1 + t^2) , dt :
A segunda integral pode ser resolvida por substituição: , .
Passo 8
A segunda integral fica:
integral 1t(1 + t^2) , dt
Usando integral 1t(1 + w) cdot dw2t = 12 integral 1w(1 + w) , dw , 1w(1 + w) = 1w - 11 + w ou 12 ( ln|w| - ln|1 + w| ) + C = 12 ( ln(t^2) - ln(1 + t^2) ) + C = ln|t| - 12 ln(1 + t^2) + C :
Esta integral pode ser resolvida por frações parciais:
Portanto:
Passo 9
Voltando à integração por partes:
integral arctan(t)t^2 , dt = -arctan(t)t + ln|t| - 12 ln(1 + t^2) + C
Agora aplicamos os limites de integração de [ -arctan(t)t + ln(t) - 12 ln(1 + t^2) ]1/2^1 a -pi/41 + ln(1) - 12 ln(2) = -pi4 - 12 ln(2) :