Calcule a integral dupla sobre os retangulos R. integral duplaR xx^2+y^2 d A, onde R=[1,2] times[0,1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla sobre o retângulo da função . Isso envolve cálculo integral, mais especificamente integrais duplas, que servem para encontrar o volume sob uma superfície definida por uma função de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral dupla. Imagine que a gente quer somar pequenas porções de área sobre o retângulo e multiplicar cada uma delas pelo valor da função nesse ponto. Para isso, escolhemos a ordem de integração. Vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 3

A integral dupla fica assim:
integral1^2 ( integral0^1 xx^2+y^2 , dy ) dx
Vamos focar na integral interna, que é com respeito a integral0^1 xx^2+y^2 , dy :
Aqui, percebemos que podemos fazer uma substituição para simplificar a integração.

Passo 4

Vamos fazer a substituição integral0^1 xx^2+y^2 , dy = integral0^1/x xx^2 + x^2u^2 cdot x , du = integral0^1/x x^2x^2(1 + u^2) , du = integral0^1/x 11 + u^2 , du , o que implica que ou . Substituindo na integral interna:
A integral de é conhecida, é a função arco-tangente ( ).

Passo 5

Integrando, temos:
integral0^1/x 11 + u^2 , du = arctan(u) |0^1/x = arctan(1x) - arctan(0) = arctan(1x)
Agora, voltamos à integral externa:
integral1^2 arctan(1x) , dx
Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição novamente.

Passo 6

Vamos fazer integral1^2 arctan(1x) , dx = integral1^1/2 arctan(t) cdot (-1t^2) , dt = integral1/2^1 arctan(t)t^2 , dt , então ou . Mudando os limites:
  • Quando ,
  • Quando ,
Substituindo na integral:
Essa integral pode ser resolvida por partes.

Passo 7

Vamos usar integração por partes, onde escolhemos:
u = arctan(t) Rightarrow du = 11 + t^2 , dt
dv = 1t^2 , dt Rightarrow v = -1t
Aplicando a fórmula de integração por partes integral arctan(t)t^2 , dt = -arctan(t)t + integral 1t(1 + t^2) , dt :
A segunda integral pode ser resolvida por substituição: , .

Passo 8

A segunda integral fica:
integral 1t(1 + t^2) , dt
Usando integral 1t(1 + w) cdot dw2t = 12 integral 1w(1 + w) , dw , 1w(1 + w) = 1w - 11 + w ou 12 ( ln|w| - ln|1 + w| ) + C = 12 ( ln(t^2) - ln(1 + t^2) ) + C = ln|t| - 12 ln(1 + t^2) + C :
Esta integral pode ser resolvida por frações parciais:
Portanto:

Passo 9

Voltando à integração por partes:
integral arctan(t)t^2 , dt = -arctan(t)t + ln|t| - 12 ln(1 + t^2) + C
Agora aplicamos os limites de integração de [ -arctan(t)t + ln(t) - 12 ln(1 + t^2) ]1/2^1 a -pi/41 + ln(1) - 12 ln(2) = -pi4 - 12 ln(2) :
-arctan(1/2)1/2 + ln(1/2) - 12 ln(1 + (12)^2) = -2arctan(12) + ln(12) - 12 ln(54)
Calculando em ( -pi4 - 12 ln(2) ) - ( -2arctan(12) + ln(12) - 12 ln(54) ) :
- pi4 - 12 ln(2) + 2arctan(12) - ln(12) + 12 ln(54)
Calculando em - pi4 - 12 ln(2) + 2arctan(12) + ln(2) + 12 ln(54) = 2arctan(12) - pi4 + 12 ln(54) :
Subtraindo os valores:
Simplificando:
Como , temos:

Resposta

Portanto, o valor da integral dupla é:
2,arctan(12) - pi4 + 12 ln(54)

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