Calcule a integral dupla sobre os retangulos . , onde
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla sobre o retângulo da função . Isso envolve cálculo integral, mais especificamente integrais duplas, que servem para encontrar o volume sob uma superfície definida por uma função de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral dupla. Imagine que a gente quer somar pequenas porções de área sobre o retângulo e multiplicar cada uma delas pelo valor da função nesse ponto. Para isso, escolhemos a ordem de integração. Vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .
Passo 3
A integral dupla fica assim:
Vamos focar na integral interna, que é com respeito a :
Aqui, percebemos que podemos fazer uma substituição para simplificar a integração.
Passo 4
Vamos fazer a substituição , o que implica que ou . Substituindo na integral interna:
A integral de é conhecida, é a função arco-tangente ().
Passo 5
Integrando, temos:
Agora, voltamos à integral externa:
Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição novamente.
Passo 6
Vamos fazer , então ou . Mudando os limites:
Quando ,
Quando ,
Substituindo na integral:
Essa integral pode ser resolvida por partes.
Passo 7
Vamos usar integração por partes, onde escolhemos:
Aplicando a fórmula de integração por partes :
A segunda integral pode ser resolvida por substituição: , .
Passo 8
A segunda integral fica:
Usando , ou :
Esta integral pode ser resolvida por frações parciais: