Calcule a integral dupla sobre os retangulos R. integral duplaR cos (x+2 y) d A, onde R=(x, y) mid 0 <= x <= pi, 0 <= y <= pi2

Passo 1

Então, temos que calcular a integral dupla de sobre o retângulo , onde e . Vamos usar o conceito de integrais iteradas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral dupla como uma integral iterada. Ou seja:
integral duplaR cos(x + 2y) , dA = integral0^pi integral0^pi2 cos(x + 2y) , dy , dx

Passo 3

Vamos resolver a integral interna, que é em relação a . Para isso, fazemos uma substituição para simplificar. Seja , então ou .

Passo 4

Agora, precisamos ajustar os limites de integração para integralx^x + pi cos(u) cdot du2 = 12 integralx^x + pi cos(u) , du . Quando , e quando , . Então, a integral interna fica:

Passo 5

A integral de 12 [sin(u)]x^x + pi = 12 [sin(x + pi) - sin(x)] em relação a é . Assim, temos:

Passo 6

Sabemos que 12 [-sin(x) - sin(x)] = 12 (-2 sin(x)) = -sin(x) . Substituindo na expressão:

Passo 7

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^pi -sin(x) , dx

Passo 8

A integral de [cos(x)]0^pi = cos(pi) - cos(0) = -1 - 1 = -2 em relação a é . Calculando entre os limites:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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