Calcule a integral dupla sobre os retangulos
.
, onde
Passo 1
Então, temos que calcular a integral dupla de
sobre o retângulo
, onde
e
. Vamos usar o conceito de integrais iteradas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a integral dupla como uma integral iterada. Ou seja:
Passo 3
Vamos resolver a integral interna, que é em relação a
. Para isso, fazemos uma substituição para simplificar. Seja
, então
ou
.
Passo 4
Agora, precisamos ajustar os limites de integração para
. Quando
,
e quando
,
. Então, a integral interna fica:
Passo 5
A integral de
em relação a
é
. Assim, temos:
Passo 6
Sabemos que
. Substituindo na expressão:
Passo 7
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Passo 8
A integral de
em relação a
é
. Calculando entre os limites:
Resposta
O valor da integral dupla é
.