Calcule a integral dupla sobre as regiões gerais D. integral duplaD x+y d A, onde D é limitada por y=raizx e y=x^2

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla integral duplaD (x + y) , dA, onde a região D é limitada pelas curvas y = raizx e y = x^2. Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais duplas em cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar determinar os limites de integração que descrevem a região D e, em seguida, integrar a função x + y sobre essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos de interseção das curvas y = raizx e y = x^2. Para isso, igualamos as duas equações:
raizx = x^2
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
x = x^4
Rearranjando:
x^4 - x = 0 x(x^3 - 1) = 0 x = 0 ou x^3 = 1 Rightarrow x = 1
Então, as curvas se intersectam nos pontos (0,0) e (1,1).

Passo 3

Agora, vamos determinar qual curva está acima da outra no intervalo x in [0, 1]. Para isso, escolhemos um valor de x dentro desse intervalo, por exemplo, x = 0.5:
y = raiz0.5 approx 0.707 y = (0.5)^2 = 0.25
Vemos que raizx > x^2 nesse intervalo, ou seja, y = raizx está acima de y = x^2 para 0 <= x <= 1.

Passo 4

Com isso, podemos definir os limites de integração. A variável x varia de 0 a 1, e para cada x, a variável y varia de x^2 (parte de baixo) até raizx (parte de cima). Portanto, a integral dupla fica:
integral0^1 integralx^2^raizx (x + y) , dy , dx

Passo 5

Vamos primeiro integrar em relação a y. A função a ser integrada é (x + y). A integral em y fica:
integralx^2^raizx (x + y) , dy = integralx^2^raizx x , dy + integralx^2^raizx y , dy
Calculando cada parte:
integralx^2^raizx x , dy = x [ y ]x^2^raizx = x (raizx - x^2) integralx^2^raizx y , dy = [ y^22 ]x^2^raizx = (raizx)^22 - (x^2)^22 = x2 - x^42
Somando as duas partes:
x (raizx - x^2) + x2 - x^42 = x^3/2 - x^3 + x2 - x^42

Passo 6

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a x de 0 a 1:
integral0^1 ( x^3/2 - x^3 + x2 - x^42 ) dx
Integrando termo a termo:
integral x^3/2 , dx = 25 x^5/2 integral x^3 , dx = 14 x^4 integral x2 , dx = 14 x^2 integral x^42 , dx = 112 x^5
Substituindo:
[ 25 x^5/2 - 14 x^4 + 14 x^2 - 112 x^5 ]0^1

Passo 7

Aplicando os limites de integração:
Para x = 1:
25(1)^5/2 - 14(1)^4 + 14(1)^2 - 112(1)^5 = 25 - 14 + 14 - 112 = 25 - 112
Para x = 0:
Todos os termos são zero.
Portanto, a integral resulta em:
25 - 112 = 2460 - 560 = 1960

Resposta

O valor da integral dupla é 1960.

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