Calcule a integral dupla sobre as regiões gerais D.
, onde
é limitada por
e
Passo 1
Vamos resolver a integral dupla
, onde a região
é limitada pelas curvas
e
. Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais duplas em cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar determinar os limites de integração que descrevem a região
e, em seguida, integrar a função
sobre essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos de interseção das curvas
e
. Para isso, igualamos as duas equações:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Rearranjando:
Então, as curvas se intersectam nos pontos
e
.
Passo 3
Agora, vamos determinar qual curva está acima da outra no intervalo
. Para isso, escolhemos um valor de
dentro desse intervalo, por exemplo,
:
Vemos que
nesse intervalo, ou seja,
está acima de
para
.
Passo 4
Com isso, podemos definir os limites de integração. A variável
varia de
a
, e para cada
, a variável
varia de
(parte de baixo) até
(parte de cima). Portanto, a integral dupla fica:
Passo 5
Vamos primeiro integrar em relação a
. A função a ser integrada é
. A integral em
fica:
Calculando cada parte:
Somando as duas partes:
Passo 6
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a
de
a
:
Integrando termo a termo:
Substituindo:
Passo 7
Aplicando os limites de integração:
Para
:
Para
:
Todos os termos são zero.
Portanto, a integral resulta em:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
Exercícios relacionados
Derive as seguintes funções usando as regras de derivação
Calcule os seguintes limites:
Calcule a integral tripla.
, onde
é delimitado pelo cilindro parabólico
e pelos planos
,
Verifique se as hipóteses do Teorema do Valor Médio estão satisfeitas nos itens abaixo. Se elas não estiverem satisfeitas, decida se a conclusão do Teorema ainda vale.
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