Calcule os seguintes limites: lim x 2 x^2-4x^2-x-2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite quando se aproxima de 2 para a expressão . Isso está relacionado ao conteúdo de limites em funções racionais. Para resolver, vamos precisar fatorar tanto o numerador quanto o denominador para simplificar a expressão e identificar se há algum ponto onde a função não está definida (como divisão por zero).

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o numerador x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) . Isso é uma diferença de quadrados, que segue a regra . Então:

Passo 3

Agora, vamos fatorar o denominador x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) . Vamos procurar dois números que multiplicados dão -2 e somados dão -1. Esses números são -2 e 1. Então:

Passo 4

Substituindo os fatores na expressão original, temos:
x^2-4x^2-x-2 = (x - 2)(x + 2)(x - 2)(x + 1)
Perceba que o termo (x + 2)(x + 1) aparece no numerador e no denominador, então podemos cancelá-los, desde que (para evitar divisão por zero):

Passo 5

Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite quando limx to 2 x + 2x + 1 = 2 + 22 + 1 = 43 se aproxima de 2 substituindo diretamente na expressão simplificada:

Resposta

O limite é .

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