Derive as seguintes funções usando as regras de derivação h(t) = t * e^(1/t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa encontrar a derivada dela usando as regras de derivação. Isso envolve entender como derivar produtos de funções e exponenciais com expoentes que também são funções. Então, vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes que estão sendo multiplicadas na função . Temos:
Como temos um produto de duas funções, vamos aplicar a regra do produto, que é essencial para derivar expressões desse tipo.

Passo 3

A regra do produto diz que se você tem duas funções e , então a derivada de é:
Então, precisamos encontrar as derivadas de e separadamente.

Passo 4

Vamos começar derivando . A derivada de em relação a é simplesmente 1. Ou seja,

Passo 5

Agora, vamos derivar . Aqui entra a regra da cadeia, que usamos quando temos uma função composta. A regra da cadeia diz que se você tem , então a derivada é .

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia em , temos:
Agora, vamos derivar .

Passo 7

A derivada de em relação a é:
Então, substituindo de volta na expressão de :

Passo 8

Agora que temos e , vamos aplicar a regra do produto:
Simplificando:

Resposta

A derivada de é:

Exercícios relacionados

Calcule os seguintes limites: lim x 2 x^2-4x^2-x-2
Mostre que a função
g(x) = { 2x + 1, se x < 1; -x + 4, se x ≥ 1 }
não é derivável em p = 1. Esboce o gráfico de g e justifique se g é contínua em p = 1.
Calcule a integral dupla sobre as regiões gerais D. integral duplaD x+y d A, onde D é limitada por y=raizx e y=x^2
Calcule a integral tripla. integral triplaE x^2 e^y d V, onde E é delimitado pelo cilindro parabólico z=1-y^2 e pelos planos z=0, x=-1 e x=1