Calcule a integral dupla sobre as regiões gerais D .
, onde
é limitada por
e
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão pede. Precisamos calcular a integral dupla de
sobre a região
, que é limitada pelas curvas
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de integração em duas variáveis e identificar corretamente os limites de integração.
Passo 2
Vamos começar encontrando os pontos onde as curvas
e
se intersectam. Igualamos as duas equações para descobrir:
Passo 3
Para resolver essa equação, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Depois, rearranjamos os termos:
Passo 4
Portanto, as curvas se interceptam nos pontos
e
. Isso significa que a região
está limitada entre esses valores de
.
Passo 5
Agora, para cada valor de
entre 0 e 1,
varia de
até
. Assim, podemos expressar a integral dupla como uma integral iterada:
Passo 6
Vamos calcular a integral interna em relação a
:
Passo 7
Agora, vamos integrar a expressão resultante em relação a
de 0 a 1:
Passo 8
Vamos calcular cada uma dessas integrais:
Passo 9
Substituindo os resultados das integrais na expressão original:
Resposta
O valor da integral dupla é
.