Calcule a integral dupla sobre as regiões gerais D . , onde é limitada por e

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão pede. Precisamos calcular a integral dupla de sobre a região , que é limitada pelas curvas e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de integração em duas variáveis e identificar corretamente os limites de integração.

Passo 2

Vamos começar encontrando os pontos onde as curvas e se intersectam. Igualamos as duas equações para descobrir:

Passo 3

Para resolver essa equação, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Depois, rearranjamos os termos:

Passo 4

Portanto, as curvas se interceptam nos pontos e . Isso significa que a região está limitada entre esses valores de .

Passo 5

Agora, para cada valor de entre 0 e 1, varia de até . Assim, podemos expressar a integral dupla como uma integral iterada:

Passo 6

Vamos calcular a integral interna em relação a :

Passo 7

Agora, vamos integrar a expressão resultante em relação a de 0 a 1:

Passo 8

Vamos calcular cada uma dessas integrais:

Passo 9

Substituindo os resultados das integrais na expressão original:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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a) Achar o índice de refração do meio para essa frequência.
b) O comprimento de onda dessa perturbação no vácuo.
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