Calcule a integral dupla sobre as regiões gerais D .
, onde
é limitada por
e
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão pede. Precisamos calcular a integral dupla de
sobre a região
, que é limitada pelas curvas
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de integração em duas variáveis e identificar corretamente os limites de integração.
Passo 2
Vamos começar encontrando os pontos onde as curvas
e
se intersectam. Igualamos as duas equações para descobrir:
Passo 3
Para resolver essa equação, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Depois, rearranjamos os termos:
Passo 4
Portanto, as curvas se interceptam nos pontos
e
. Isso significa que a região
está limitada entre esses valores de
.
Passo 5
Agora, para cada valor de
entre 0 e 1,
varia de
até
. Assim, podemos expressar a integral dupla como uma integral iterada:
Passo 6
Vamos calcular a integral interna em relação a
:
Passo 7
Agora, vamos integrar a expressão resultante em relação a
de 0 a 1:
Passo 8
Vamos calcular cada uma dessas integrais:
Passo 9
Substituindo os resultados das integrais na expressão original:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
Exercícios relacionados
Uma onda plana no infravermelho que se propaga num meio transparente é dada por:
a) Achar o índice de refração do meio para essa frequência.
b) O comprimento de onda dessa perturbação no vácuo.
b) O comprimento de onda dessa perturbação no vácuo.
Quando um feixe de luz se propaga num meio com índice de refração
, sua frequência não é alterada em comparação à frequência de propagação no vácuo. Isso não acontece com o comprimento de onda e a velocidade de propagação.
a) Mostrar que o comprimento de onda no meio de índice
é
(
é o comprimento de onda no vácuo).
b) Qual é o comprimento de onda da luz azul na água ( ) se no ar é
?
a) Mostrar que o comprimento de onda
b) Qual é o comprimento de onda da luz azul na água (
Um raio de luz incide em uma interfase plana que separa duas lâminas de vidro com índices de refração iguais a 1.7 e 1.58. O ângulo de incidência na interfase é de
, e o raio incide desde o vidro com índice
1.7. Calcular o ângulo do raio transmitido no vidro com índice igual a 1.58.
Um feixe de luz se propaga no ar incidindo numa placa de vidro com ângulo
, onde
é o ângulo medido entre o raio incidente e a superfície do vidro. Depois de incidir no vidro, parte do feixe é refletido e parte é refratado.
a) Considerando que o ângulo entre os raios refletido e refratado é de , qual é o índice de refração do vidro?
b) Qual é o ângulo crítico para esse vidro?
a) Considerando que o ângulo entre os raios refletido e refratado é de
b) Qual é o ângulo crítico para esse vidro?