Calcule a integral dupla sobre as regiões gerais D . integral duplaD x+y d A, onde D é limitada por y=raizx e y=x^2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão pede. Precisamos calcular a integral dupla de sobre a região , que é limitada pelas curvas e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de integração em duas variáveis e identificar corretamente os limites de integração.

Passo 2

Vamos começar encontrando os pontos onde as curvas raizx = x^2 e se intersectam. Igualamos as duas equações para descobrir:

Passo 3

Para resolver essa equação, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
x = x^4
Depois, rearranjamos os termos:
x^4 - x = 0
x(x^3 - 1) = 0
x = 0 ou x = 1

Passo 4

Portanto, as curvas se interceptam nos pontos e . Isso significa que a região está limitada entre esses valores de .

Passo 5

Agora, para cada valor de integral0^1 integralx^2^raizx (x + y) , dy , dx entre 0 e 1, varia de até . Assim, podemos expressar a integral dupla como uma integral iterada:

Passo 6

Vamos calcular a integral interna em relação a integralx^2^raizx (x + y) , dy = x integralx^2^raizx dy + integralx^2^raizx y , dy :
= x (raizx - x^2) + [ 12 y^2 ]x^2^raizx
= x raizx - x^3 + 12 (raizx)^2 - 12 (x^2)^2
= x^3/2 - x^3 + 12 x - 12 x^4

Passo 7

Agora, vamos integrar a expressão resultante em relação a integral0^1 ( x^3/2 - x^3 + 12 x - 12 x^4 ) dx de 0 a 1:
= integral0^1 x^3/2 , dx - integral0^1 x^3 , dx + 12 integral0^1 x , dx - 12 integral0^1 x^4 , dx

Passo 8

Vamos calcular cada uma dessas integrais:
integral0^1 x^3/2 , dx = [ 25 x^5/2 ]0^1 = 25
integral0^1 x^3 , dx = [ 14 x^4 ]0^1 = 14
12 integral0^1 x , dx = 12 [ 12 x^2 ]0^1 = 14
12 integral0^1 x^4 , dx = 12 [ 15 x^5 ]0^1 = 110

Passo 9

Substituindo os resultados das integrais na expressão original:
25 - 14 + 14 - 110 = 25 - 110 = 410 - 110 = 310

Resposta

O valor da integral dupla é .

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