Calcule a integral dupla utilizando coordenadas polares:
Resp:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral dupla
usando coordenadas polares. Isso tá dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente integração dupla. Para isso, vamos precisar mudar de coordenadas cartesianas para polares e ajustar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que estamos integrando. No plano cartesiano,
varia de
a
e, para cada
,
vai de
até
. Isso descreve a metade superior de um círculo de raio 1 centrado na origem.
Passo 3
Agora, vamos converter essas equações para coordenadas polares. Lembrando que:
E a área diferencial em coordenadas polares é
.
Passo 4
Determinar os limites de integração em polares. Como estamos lidando com a metade superior do círculo:
-
varia de a (raio do círculo) -
varia de a (ângulo que abrange a metade superior)
Passo 5
Montar a integral em coordenadas polares:
Passo 6
Resolver a integral interna em relação a
:
Passo 7
Agora, resolver a integral externa em relação a
:
Resposta
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(a)
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, para calcular
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(b)
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e
no ponto
.