Calcule a integral dupla utilizando coordenadas polares:
integral-1^1 integral0^raiz1-x^2 d y d x Resp: pi2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla usando coordenadas polares. Isso tá dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente integração dupla. Para isso, vamos precisar mudar de coordenadas cartesianas para polares e ajustar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos integrando. No plano cartesiano, varia de a e, para cada , vai de até . Isso descreve a metade superior de um círculo de raio 1 centrado na origem.

Passo 3

Agora, vamos converter essas equações para coordenadas polares. Lembrando que:
x = r costheta e y = r sintheta
E a área diferencial em coordenadas polares é .

Passo 4

Determinar os limites de integração em polares. Como estamos lidando com a metade superior do círculo:
  • varia de a (raio do círculo)
  • varia de a (ângulo que abrange a metade superior)

Passo 5

Montar a integral em coordenadas polares:
integral0^pi integral0^1 r, dr, dtheta

Passo 6

Resolver a integral interna em relação a integral0^1 r, dr = [r^22]0^1 = 12 :

Passo 7

Agora, resolver a integral externa em relação a integral0^pi 12, dtheta = 12 times pi = pi2 :

Resposta

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