Calcule os limites trigonométricos abaixo.
(a) L=lim x pi4(1-sen 2 xcos ^2 2 x)

Passo 1

Vamos calcular o limite trigonométrico .
Conteúdo da Matéria:
Para resolver este limite, vamos utilizar conceitos de limites e identidades trigonométricas. Precisaremos conhecer a fórmula da identidade trigonométrica do seno duplo ( ) e as propriedades dos limites.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir sin 2(pi4) = sin (pi2) = 1 por cos 2(pi4) = cos (pi2) = 0 nas funções trigonométricas para verificar se o limite pode ser calculado diretamente.
Calculando quando :
Calculando quando :

Passo 3

Substituindo esses valores no limite:
L = 1 - 10^2 = 00
Obtemos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão ou usar outra técnica para encontrar o limite.

Passo 4

Vamos simplificar a expressão utilizando identidades trigonométricas.
Sabemos que:
1 - sin 2x = 1 - 2 sin x cos x
Mas é mais útil reescrever 1 - sin 2x = cos^2 x - sin^2 x = (cos x - sin x)(cos x + sin x) de outra forma. Vamos usar a identidade:
1 - sin 2xcos^2 2x
Entretanto, para simplificar melhor, notamos que a expressão original é:
1 - sin 2x = 1 - 2 sin x cos x
Podemos reescrever o numerador usando a identidade:
Mas isso não simplifica diretamente. Vamos tentar outra abordagem.

Passo 5

Vamos utilizar a identidade pitagórica básica:
sin^2 theta + cos^2 theta = 1
Podemos rearranjar para expressar em termos de funções de .
No entanto, para resolver o limite, uma técnica mais direta é aplicar a regra de L’Hôpital, já que temos uma forma indeterminada .

Passo 6

Regra de L’Hôpital:
Se limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x) ou f(x) = 1 - sin 2x e g(x) = cos^2 2x , então:
f'(x) = -2 cos 2x
desde que este último limite exista.
Aplicando isso ao nosso caso:
g'(x) = 2 cos 2x cdot (-2 sin 2x) = -4 cos 2x sin 2x
Calculando as derivadas:

Passo 7

Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital:
L = limx pi4 -2 cos 2x-4 cos 2x sin 2x = limx pi4 -2-4 sin 2x = limx pi4 12 sin 2x

Passo 8

Substituindo sin 2(pi4) = sin (pi2) = 1 :
L = 12 cdot 1 = 12
Portanto:

Resposta

O limite é .

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