Calcule os limites trigonométricos abaixo.
(a)
(a)
Passo 1
Vamos calcular o limite trigonométrico
.
Conteúdo da Matéria:
Para resolver este limite, vamos utilizar conceitos de limites e identidades trigonométricas. Precisaremos conhecer a fórmula da identidade trigonométrica do seno duplo ( ) e as propriedades dos limites.
Para resolver este limite, vamos utilizar conceitos de limites e identidades trigonométricas. Precisaremos conhecer a fórmula da identidade trigonométrica do seno duplo (
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
por
nas funções trigonométricas para verificar se o limite pode ser calculado diretamente.
Calculando
quando
:
Calculando
quando
:
Passo 3
Substituindo esses valores no limite:
Obtemos uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos simplificar a expressão ou usar outra técnica para encontrar o limite.
Passo 4
Vamos simplificar a expressão utilizando identidades trigonométricas.
Sabemos que:
Mas é mais útil reescrever
de outra forma. Vamos usar a identidade:
Entretanto, para simplificar melhor, notamos que a expressão original é:
Podemos reescrever o numerador usando a identidade:
Mas isso não simplifica diretamente. Vamos tentar outra abordagem.
Passo 5
Vamos utilizar a identidade pitagórica básica:
Podemos rearranjar para expressar
em termos de funções de
.
No entanto, para resolver o limite, uma técnica mais direta é aplicar a regra de L’Hôpital, já que temos uma forma indeterminada
.
Passo 6
Regra de L’Hôpital:
Se ou
, então:
Se
desde que este último limite exista.
Aplicando isso ao nosso caso:
Calculando as derivadas:
Passo 7
Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital:
Passo 8
Substituindo
:
Portanto:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Use o limite
, para calcular
Calcule os limites a seguir: $(d)
Calcule a integral dupla utilizando coordenadas polares:
Resp:
Calcule os limites trigonométricos abaixo.
(b)
(b)