Calcule os limites trigonométricos abaixo.
(a)

Passo 1

Vamos calcular o limite trigonométrico .
Conteúdo da Matéria:
Para resolver este limite, vamos utilizar conceitos de limites e identidades trigonométricas. Precisaremos conhecer a fórmula da identidade trigonométrica do seno duplo ( ) e as propriedades dos limites.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir por nas funções trigonométricas para verificar se o limite pode ser calculado diretamente.
Calculando quando :
Calculando quando :

Passo 3

Substituindo esses valores no limite:
Obtemos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão ou usar outra técnica para encontrar o limite.

Passo 4

Vamos simplificar a expressão utilizando identidades trigonométricas.
Sabemos que:
Mas é mais útil reescrever de outra forma. Vamos usar a identidade:
Entretanto, para simplificar melhor, notamos que a expressão original é:
Podemos reescrever o numerador usando a identidade:
Mas isso não simplifica diretamente. Vamos tentar outra abordagem.

Passo 5

Vamos utilizar a identidade pitagórica básica:
Podemos rearranjar para expressar em termos de funções de .
No entanto, para resolver o limite, uma técnica mais direta é aplicar a regra de L’Hôpital, já que temos uma forma indeterminada .

Passo 6

Regra de L’Hôpital:
Se ou , então:
desde que este último limite exista.
Aplicando isso ao nosso caso:
Calculando as derivadas:

Passo 7

Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital:

Passo 8

Substituindo :
Portanto:

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

Use o limite , para calcular
Calcule os limites a seguir: $(d)
Calcule a integral dupla utilizando coordenadas polares:
Resp:
Calcule os limites trigonométricos abaixo.
(b)