Calcule a integral dupla utilizando coordenadas polares:
Resp:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral dupla usando coordenadas polares. O enunciado pede para calcular a integral:
Esse tipo de integral geralmente envolve áreas circulares, e as coordenadas polares são perfeitas para simplificar esses cálculos. Vamos precisar entender como mudar de coordenadas cartesianas para polares e usar a fórmula da integral dupla em polares.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. As integrais de
e
vão de
a
e de
a
, respectivamente. Isso descreve um círculo de raio
centrado na origem.
Passo 3
Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, qualquer ponto é representado por
, onde
é a distância até a origem e
é o ângulo com o eixo positivo
. A relação entre coordenadas cartesianas e polares é:
Passo 4
A área em coordenadas polares é dada por
. Isso significa que nossa integral dupla em cartesianas será transformada para:
Aqui,
varia de
a
(o raio do círculo) e
varia de
a
para cobrir toda a circunferência.
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Passo 6
Em seguida, resolvemos a integral externa em relação a
:
Resposta
O valor da integral dupla é
.