Calcule a integral dupla utilizando coordenadas polares:
Resp:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral dupla usando coordenadas polares. O enunciado pede para calcular a integral:
Esse tipo de integral geralmente envolve áreas circulares, e as coordenadas polares são perfeitas para simplificar esses cálculos. Vamos precisar entender como mudar de coordenadas cartesianas para polares e usar a fórmula da integral dupla em polares.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. As integrais de e vão de a e de a , respectivamente. Isso descreve um círculo de raio centrado na origem.

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, qualquer ponto é representado por , onde é a distância até a origem e é o ângulo com o eixo positivo . A relação entre coordenadas cartesianas e polares é:

Passo 4

A área em coordenadas polares é dada por . Isso significa que nossa integral dupla em cartesianas será transformada para:
Aqui, varia de a (o raio do círculo) e varia de a para cobrir toda a circunferência.

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :

Passo 6

Em seguida, resolvemos a integral externa em relação a :

Resposta

O valor da integral dupla é .

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