Calcule a integral dupla utilizando coordenadas polares:
integral-a^a integral-raiza^2-x^2^raiza^2 d y d x Resp: a^2 pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral dupla usando coordenadas polares. O enunciado pede para calcular a integral:
integral-a^a integral-raiza^2-x^2^raiza^2-x^2 dy , dx
Esse tipo de integral geralmente envolve áreas circulares, e as coordenadas polares são perfeitas para simplificar esses cálculos. Vamos precisar entender como mudar de coordenadas cartesianas para polares e usar a fórmula da integral dupla em polares.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. As integrais de x e y vão de -a a a e de -raiza^2-x^2 a raiza^2-x^2, respectivamente. Isso descreve um círculo de raio a centrado na origem.

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, qualquer ponto é representado por (r, theta), onde r é a distância até a origem e theta é o ângulo com o eixo positivo x. A relação entre coordenadas cartesianas e polares é:
x = r costheta y = r sintheta

Passo 4

A área em coordenadas polares é dada por dA = r , dr , dtheta. Isso significa que nossa integral dupla em cartesianas será transformada para:
integral0^2pi integral0^a r , dr , dtheta
Aqui, r varia de 0 a a (o raio do círculo) e theta varia de 0 a 2pi para cobrir toda a circunferência.

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a r:
integral0^a r , dr = [ r^22 ]0^a = a^22

Passo 6

Em seguida, resolvemos a integral externa em relação a theta:
integral0^2pi a^22 , dtheta = a^22 times (2pi) = a^2pi

Resposta

O valor da integral dupla é a^2 pi.

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