Considere a função g: R -> R definida por g(x) = x^3 + 5 x^2 - 6 x.
d) Encontre suas assíntotas horizontais e verticais, caso existam.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar as assíntotas horizontais e verticais da função . Isso envolve entender um pouco sobre como os gráficos das funções se comportam quando fica muito grande ou perto de certos valores específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos falar das assíntotas verticais. Elas geralmente aparecem em funções onde há uma divisão por zero, tipo em funções racionais (frações onde o denominador pode ser zero). Quando isso acontece, o gráfico da função vai “tão longe” perto daquele valor de que parece que uma linha vertical se aproxima mas nunca toca.

Passo 3

Olha só a nossa função . Ela é um polinômio, ou seja, é uma soma de termos com potências de . Uma coisa legal dos polinômios é que eles são definidos para todos os números reais. Não tem nenhum denominador que possa dar zero ou ponto onde a função não existe.

Passo 4

Então, já sabemos que não há assíntotas verticais para a nossa função , porque ela não fica indefinida em nenhum ponto.

Passo 5

Agora, vamos ver as assíntotas horizontais. Essas assíntotas mostram para onde a função está “indo” quando fica muito grande positivo ou muito grande negativo. Para descobrir isso, observamos o grau (a maior potência de ) do polinômio.

Passo 6

No nosso caso, o grau do polinômio é 3 (porque o é o termo de maior potência). A regra geral é:
  • Se o grau do polinômio é maior que 0, a função não tem assíntotas horizontais, porque quando vai para ou , o valor de também vai para ou .

Passo 7

Como o grau do nosso polinômio é 3, que é maior que 0, concluímos que não há assíntotas horizontais para a função .

Resposta

A função não possui assíntotas horizontais nem verticais.

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