Suponha que uma carga elétrica esteja localizada na origem. Pela Lei de Coulomb, o campo elétrico é dado por
exceto por um múltiplo constante. Considere o plano e seja o pedaço desse plano que está dentro da esfera . Suponha que está orientada com o vetor normal apontando para cima. Calcule o fluxo de por .

Passo 1

Vamos analisar o problema que envolve a Lei de Coulomb e o cálculo de fluxo elétrico. Precisamos calcular o fluxo do campo elétrico através da superfície definida pelo plano dentro da esfera . Para resolver isso, utilizaremos conceitos de campos elétricos e fluxo através de superfícies, além de aplicar a integração de campos vetoriais.

Passo 2

Primeiramente, vamos entender a superfície . Ela está localizada no plano e limitada pela esfera . Como , substituindo na equação da esfera:
Isso representa um círculo de raio no plano .

Passo 3

Para calcular o fluxo do campo elétrico através da superfície , usamos a fórmula:
onde é o vetor normal à superfície. Neste caso, o vetor normal está na direção positiva do eixo , ou seja, .

Passo 4

Substituímos o campo elétrico dado na expressão do fluxo:
Como a superfície está em , temos:

Passo 5

O produto escalar será:

Passo 6

Agora, configuramos a integral dupla para o fluxo:
Como a superfície é um círculo no plano , é conveniente usar coordenadas polares ( ):
A área diferencial em coordenadas polares é .

Passo 7

Substituindo na integral:

Passo 8

Integrando em relação a :
Fazemos a substituição , então ou .
Portanto, a integral se torna:
Integrando:

Passo 9

Agora, a integração em :

Resposta

O fluxo de por é .

Exercícios relacionados

No espaço, considere o eixo como sendo um fio infinito com uma corrente contínua fluindo para a direita. A Lei de Biot-Savart nos diz que tal corrente produz um campo magnético da forma
exceto por um múltiplo constante. Seja uma curva fechada suave e simples (sem auto interseções) que circunda o eixo . Mostre que a menos de orientação
Encontre os pontos críticos da função dada:
, no intervalo
Calcule a integral dupla utilizando coordenadas polares:
Resp:
Considere a função definida por .
d) Encontre suas assíntotas horizontais e verticais, caso existam.