Suponha que uma carga elétrica esteja localizada na origem. Pela Lei de Coulomb, o campo elétrico é dado por
exceto por um múltiplo constante. Considere o plano
e seja
o pedaço desse plano que está dentro da esfera
. Suponha que
está orientada com o vetor normal apontando para cima. Calcule o fluxo de
por
.
Passo 1
Vamos analisar o problema que envolve a Lei de Coulomb e o cálculo de fluxo elétrico. Precisamos calcular o fluxo do campo elétrico
através da superfície
definida pelo plano
dentro da esfera
. Para resolver isso, utilizaremos conceitos de campos elétricos e fluxo através de superfícies, além de aplicar a integração de campos vetoriais.
Passo 2
Primeiramente, vamos entender a superfície
. Ela está localizada no plano
e limitada pela esfera
. Como
, substituindo na equação da esfera:
Isso representa um círculo de raio
no plano
.
Passo 3
Para calcular o fluxo
do campo elétrico
através da superfície
, usamos a fórmula:
onde
é o vetor normal à superfície. Neste caso, o vetor normal está na direção positiva do eixo
, ou seja,
.
Passo 4
Substituímos o campo elétrico dado na expressão do fluxo:
Como a superfície está em
, temos:
Passo 5
O produto escalar
será:
Passo 6
Agora, configuramos a integral dupla para o fluxo:
Como a superfície
é um círculo no plano
, é conveniente usar coordenadas polares (
):
A área diferencial em coordenadas polares é
.
Passo 7
Substituindo na integral:
Passo 8
Integrando em relação a
:
Fazemos a substituição
, então
ou
.
Portanto, a integral se torna:
Integrando:
Passo 9
Agora, a integração em
:
Resposta
O fluxo de
por
é
.
Exercícios relacionados
No espaço, considere o eixo
como sendo um fio infinito com uma corrente contínua fluindo para a direita. A Lei de Biot-Savart nos diz que tal corrente produz um campo magnético da forma
exceto por um múltiplo constante. Seja
uma curva fechada suave e simples (sem auto interseções) que circunda o eixo
. Mostre que a menos de orientação
Encontre os pontos críticos da função dada:
, no intervalo
Calcule a integral dupla utilizando coordenadas polares:
Resp:
Considere a função
definida por
.
d) Encontre suas assíntotas horizontais e verticais, caso existam.
d) Encontre suas assíntotas horizontais e verticais, caso existam.