Suponha que uma carga elétrica esteja localizada na origem. Pela Lei de Coulomb, o campo elétrico é dado por
E(x, y, z)=1(x^2+y^2+z^2)^3 / 2(x i+y j+z k)
exceto por um múltiplo constante. Considere o plano z=1 / 2 e seja S o pedaço desse plano que está dentro da esfera x^2+y^2+z^2=1. Suponha que S está orientada com o vetor normal apontando para cima. Calcule o fluxo de E por S.

Passo 1

Vamos analisar o problema que envolve a Lei de Coulomb e o cálculo de fluxo elétrico. Precisamos calcular o fluxo do campo elétrico através da superfície definida pelo plano dentro da esfera . Para resolver isso, utilizaremos conceitos de campos elétricos e fluxo através de superfícies, além de aplicar a integração de campos vetoriais.

Passo 2

Primeiramente, vamos entender a superfície x^2 + y^2 + ( 12 )^2 = 1 . Ela está localizada no plano x^2 + y^2 = 1 - 14 e limitada pela esfera x^2 + y^2 = 34 . Como , substituindo na equação da esfera:
Isso representa um círculo de raio no plano .

Passo 3

Para calcular o fluxo Phi = integral duplaS E cdot n , dS do campo elétrico através da superfície , usamos a fórmula:
onde é o vetor normal à superfície. Neste caso, o vetor normal está na direção positiva do eixo , ou seja, .

Passo 4

Substituímos o campo elétrico dado na expressão do fluxo:
E(x, y, z) = 1(x^2 + y^2 + z^2)^3/2 (x i + y j + z k)
Como a superfície está em E(x, y, 12) = 1(x^2 + y^2 + 14)^3/2 (x i + y j + 12 k) , temos:

Passo 5

O produto escalar E cdot n = 1(x^2 + y^2 + 14)^3/2 ( x cdot 0 + y cdot 0 + 12 cdot 1 ) = 12 cdot 1(x^2 + y^2 + 14)^3/2 será:

Passo 6

Agora, configuramos a integral dupla para o fluxo:
Phi = integral duplaS 12 cdot 1(x^2 + y^2 + 14)^3/2 , dS
Como a superfície x = r cos theta é um círculo no plano y = r sin theta , é conveniente usar coordenadas polares ( ):
A área diferencial em coordenadas polares é .

Passo 7

Substituindo na integral:
Phi = 12 integral0^2pi integral0^raiz32 1(r^2 + 14)^3/2 cdot r , dr , dtheta

Passo 8

Integrando em relação a integral0^raiz32 r(r^2 + 14)^3/2 , dr :
12 integral14^1 u^-3/2 , du
Fazemos a substituição 12 [ -2 u^-1/2 ]14^1 = - [ u^-1/2 ]14^1 = - ( 1 - 2 ) = 1 , então ou .
Portanto, a integral se torna:
Integrando:

Passo 9

Agora, a integração em Phi = 12 cdot 1 cdot integral0^2pi dtheta = 12 cdot 2pi = pi :

Resposta

O fluxo de por é .

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