No espaço, considere o eixo como sendo um fio infinito com uma corrente contínua fluindo para a direita. A Lei de Biot-Savart nos diz que tal corrente produz um campo magnético da forma
exceto por um múltiplo constante. Seja uma curva fechada suave e simples (sem auto interseções) que circunda o eixo . Mostre que a menos de orientação

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um fio infinito ao longo do eixo com uma corrente elétrica fluindo para a direita. A Lei de Biot-Savart nos dá o campo magnético gerado por essa corrente, que é representado pela fórmula:
O objetivo é mostrar que, para uma curva fechada que circunda o eixo , a integral de ao longo de vale , independentemente da orientação da curva. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é campo magnético, integral de linha e como aplicar conceitos de cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. A integral representa o trabalho que o campo magnético faz ao longo da curva , onde é o vetor tangente à curva e é um elemento de comprimento. No contexto do campo magnético gerado por uma corrente, essa integral está relacionada à circulação do campo ao redor da corrente.

Passo 3

A Lei de Biot-Savart nos dá o campo magnético em termos da corrente que o gera. No caso de um fio infinito, o campo magnético em qualquer ponto depende apenas da distância perpendicular ao fio. A fórmula fornecida já leva isso em conta, com e sendo as coordenadas perpendiculares ao eixo .

Passo 4

Para calcular a integral, vamos parametrizar a curva . Como é uma curva fechada que circunda o eixo , podemos imaginar que seja um círculo de raio no plano . Assim, podemos usar coordenadas polares para simplificar os cálculos.

Passo 5

Em coordenadas polares, temos e , onde varia de a . O vetor tangente na curva será derivado dessa parametrização.

Passo 6

Vamos substituir e na expressão do campo magnético:

Passo 7

Agora, vamos encontrar o vetor tangente . Derivando a posição em relação a :
Normalizando, temos:

Passo 8

Calculando o produto escalar :

Passo 9

A integral ao longo da curva fica:
No entanto, como a expressão original de estava “exceto por um múltiplo constante”, para que a integral seja igual a , esse múltiplo constante deve ser . Assim, ajustando esse fator, concluímos que:

Resposta

A integral ao longo da curva que circunda o eixo é igual a .

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, no intervalo
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Suponha que uma carga elétrica esteja localizada na origem. Pela Lei de Coulomb, o campo elétrico é dado por
exceto por um múltiplo constante. Considere o plano e seja o pedaço desse plano que está dentro da esfera . Suponha que está orientada com o vetor normal apontando para cima. Calcule o fluxo de por .
Calcule a integral dupla utilizando coordenadas polares:
Resp: