No espaço, considere o eixo x como sendo um fio infinito com uma corrente contínua fluindo para a direita. A Lei de Biot-Savart nos diz que tal corrente produz um campo magnético da forma
B(x, y, z)=1(y^2+z^2)(-z j+y k)
exceto por um múltiplo constante. Seja C uma curva fechada suave e simples (sem auto interseções) que circunda o eixo x. Mostre que a menos de orientação
integralC B cdot T d s=2 pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um fio infinito ao longo do eixo B(x, y, z) = 1y^2 + z^2 (-z j + y k) com uma corrente elétrica fluindo para a direita. A Lei de Biot-Savart nos dá o campo magnético gerado por essa corrente, que é representado pela fórmula:
O objetivo é mostrar que, para uma curva fechada que circunda o eixo , a integral de ao longo de vale , independentemente da orientação da curva. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é campo magnético, integral de linha e como aplicar conceitos de cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. A integral representa o trabalho que o campo magnético faz ao longo da curva , onde é o vetor tangente à curva e é um elemento de comprimento. No contexto do campo magnético gerado por uma corrente, essa integral está relacionada à circulação do campo ao redor da corrente.

Passo 3

A Lei de Biot-Savart nos dá o campo magnético em termos da corrente que o gera. No caso de um fio infinito, o campo magnético em qualquer ponto depende apenas da distância perpendicular ao fio. A fórmula fornecida já leva isso em conta, com e sendo as coordenadas perpendiculares ao eixo .

Passo 4

Para calcular a integral, vamos parametrizar a curva . Como é uma curva fechada que circunda o eixo , podemos imaginar que seja um círculo de raio no plano . Assim, podemos usar coordenadas polares para simplificar os cálculos.

Passo 5

Em coordenadas polares, temos e , onde varia de a . O vetor tangente na curva será derivado dessa parametrização.

Passo 6

Vamos substituir B = 1r^2 (-r sintheta , j + r costheta , k) = 1r (-sintheta , j + costheta , k) e na expressão do campo magnético:

Passo 7

Agora, vamos encontrar o vetor tangente drdtheta = -r sintheta , j + r costheta , k . Derivando a posição em relação a T = 1r (-sintheta , j + costheta , k) :
Normalizando, temos:

Passo 8

Calculando o produto escalar B cdot T = 1r (-sintheta , j + costheta , k) cdot 1r (-sintheta , j + costheta , k) = 1r^2 (sin^2theta + cos^2theta) = 1r^2 cdot 1 = 1r^2 :

Passo 9

A integral ao longo da curva integralC B cdot T , ds = integral0^2pi 1r^2 cdot r , dtheta = 1r integral0^2pi dtheta = 1r cdot 2pi = 2pir fica:
integralC B cdot T , ds = 2pi
No entanto, como a expressão original de estava “exceto por um múltiplo constante”, para que a integral seja igual a , esse múltiplo constante deve ser . Assim, ajustando esse fator, concluímos que:

Resposta

A integral ao longo da curva que circunda o eixo é igual a .

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