No espaço, considere o eixo
como sendo um fio infinito com uma corrente contínua fluindo para a direita. A Lei de Biot-Savart nos diz que tal corrente produz um campo magnético da forma
exceto por um múltiplo constante. Seja
uma curva fechada suave e simples (sem auto interseções) que circunda o eixo
. Mostre que a menos de orientação
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um fio infinito ao longo do eixo
com uma corrente elétrica fluindo para a direita. A Lei de Biot-Savart nos dá o campo magnético gerado por essa corrente, que é representado pela fórmula:
O objetivo é mostrar que, para uma curva fechada
que circunda o eixo
, a integral de
ao longo de
vale
, independentemente da orientação da curva. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é campo magnético, integral de linha e como aplicar conceitos de cálculo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. A integral
representa o trabalho que o campo magnético faz ao longo da curva
, onde
é o vetor tangente à curva e
é um elemento de comprimento. No contexto do campo magnético gerado por uma corrente, essa integral está relacionada à circulação do campo ao redor da corrente.
Passo 3
A Lei de Biot-Savart nos dá o campo magnético em termos da corrente que o gera. No caso de um fio infinito, o campo magnético em qualquer ponto depende apenas da distância perpendicular ao fio. A fórmula fornecida já leva isso em conta, com
e
sendo as coordenadas perpendiculares ao eixo
.
Passo 4
Para calcular a integral, vamos parametrizar a curva
. Como
é uma curva fechada que circunda o eixo
, podemos imaginar que
seja um círculo de raio
no plano
. Assim, podemos usar coordenadas polares para simplificar os cálculos.
Passo 5
Em coordenadas polares, temos
e
, onde
varia de
a
. O vetor tangente
na curva
será derivado dessa parametrização.
Passo 6
Vamos substituir
e
na expressão do campo magnético:
Passo 7
Agora, vamos encontrar o vetor tangente
. Derivando a posição em relação a
:
Normalizando, temos:
Passo 8
Calculando o produto escalar
:
Passo 9
A integral ao longo da curva
fica:
No entanto, como a expressão original de
estava “exceto por um múltiplo constante”, para que a integral seja igual a
, esse múltiplo constante deve ser
. Assim, ajustando esse fator, concluímos que:
Resposta
A integral
ao longo da curva
que circunda o eixo
é igual a
.
Exercícios relacionados
Encontre os pontos críticos da função dada:
, no intervalo
Encontre os pontos críticos da função dada:
Suponha que uma carga elétrica esteja localizada na origem. Pela Lei de Coulomb, o campo elétrico é dado por
exceto por um múltiplo constante. Considere o plano
e seja
o pedaço desse plano que está dentro da esfera
. Suponha que
está orientada com o vetor normal apontando para cima. Calcule o fluxo de
por
.
Calcule a integral dupla utilizando coordenadas polares:
Resp: