Calcule a integral dupla utilizando coordenadas polares:
integral0^1 integral0^raiz1-x^2(x^2+y^2) d y d x. Resp: pi8

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral dupla usando coordenadas polares. Isso faz parte do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente integração em coordenadas diferentes. Para resolver, vamos precisar converter a integral que está em coordenadas cartesianas para polares e usar as fórmulas apropriadas para coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. A integral dada é:
integral0^1 integral0^raiz1-x^2 (x^2+y^2) , dy , dx
Isso descreve a área no primeiro quadrante que está dentro do círculo de raio 1, já que é a parte superior do círculo .

Passo 3

Agora, vamos converter as coordenadas cartesianas x = r costheta e y = r sintheta para coordenadas polares , onde:
Além disso, sabemos que e o elemento de área se transforma em nas coordenadas polares.

Passo 4

Vamos reescrever a integral na forma polar. Os limites de integral0^pi2 integral0^1 (r^2) cdot r , dr , dtheta vão de 0 a 1 (raio do círculo) e os limites de integral0^pi2 integral0^1 r^3 , dr , dtheta vão de 0 a (primeiro quadrante). Substituindo tudo, a integral fica:
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro:
integral0^1 r^3 , dr = [ r^44 ]0^1 = 14
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
integral0^pi2 14 , dtheta = 14 cdot [ theta ]0^pi2 = 14 cdot pi2 = pi8

Resposta

O valor da integral dupla é dfracpi8.

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