Calcule a integral dupla utilizando coordenadas polares:
. Resp:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral dupla usando coordenadas polares. Isso faz parte do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente integração em coordenadas diferentes. Para resolver, vamos precisar converter a integral que está em coordenadas cartesianas para polares e usar as fórmulas apropriadas para coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. A integral dada é:
Isso descreve a área no primeiro quadrante que está dentro do círculo de raio 1, já que
é a parte superior do círculo
.
Passo 3
Agora, vamos converter as coordenadas cartesianas
para coordenadas polares
, onde:
Além disso, sabemos que
e o elemento de área
se transforma em
nas coordenadas polares.
Passo 4
Vamos reescrever a integral na forma polar. Os limites de
vão de 0 a 1 (raio do círculo) e os limites de
vão de 0 a
(primeiro quadrante). Substituindo tudo, a integral fica:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
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Calcule
onde R é a região semi-circular limitada pelo eixo
e pela curva
Resp:
Verifique se as séries a seguir convergem ou divergem. Justifique sua resposta.
Explique por que a funçio é diferenciável no ponto dado. A scguir, encontre a lineari zaçio
da funçio naquele ponto
(1)
b)
(1)
b)
Verifique se as funções são homogêneas e, caso afirmativo, determine o grau: