Calcule a integral dupla utilizando coordenadas polares:
. Resp:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral dupla usando coordenadas polares. Isso faz parte do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente integração em coordenadas diferentes. Para resolver, vamos precisar converter a integral que está em coordenadas cartesianas para polares e usar as fórmulas apropriadas para coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. A integral dada é:
Isso descreve a área no primeiro quadrante que está dentro do círculo de raio 1, já que é a parte superior do círculo .

Passo 3

Agora, vamos converter as coordenadas cartesianas para coordenadas polares , onde:
Além disso, sabemos que e o elemento de área se transforma em nas coordenadas polares.

Passo 4

Vamos reescrever a integral na forma polar. Os limites de vão de 0 a 1 (raio do círculo) e os limites de vão de 0 a (primeiro quadrante). Substituindo tudo, a integral fica:
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro:
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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