Verifique se as funções são homogêneas e, caso afirmativo, determine o grau: f(x, y) = cos((x + 4y) / x)

Passo 1

Então, a gente tem a função e o desafio é verificar se ela é homogênea. Se for, vamos descobrir qual é o grau dessa homogeneidade. Vamos precisar entender o que significa uma função ser homogênea e como identificar o grau dela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função homogênea. Uma função é dita homogênea de grau se, quando multiplicamos todas as variáveis por um fator , a função inteira é multiplicada por . Matemáticamente, isso é escrito como:
Então, nosso objetivo é ver se isso vale para a função dada e encontrar o valor de se for o caso.

Passo 3

Vamos aplicar o teste de homogeneidade na nossa função. Substituímos por e por na função:
Simplificando o que está dentro do cosseno:
Então, a função se torna:

Passo 4

Agora, comparando com , temos:
Isso significa que:
Para que essa igualdade seja verdadeira para qualquer , o único valor possível para é 0, porque .

Resposta

A função é homogênea de grau zero.

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