Calcule integral duplaR e^x^2+y^2 d y d x onde R é a região semi-circular limitada pelo eixo x e pela curva y= raiz1-x^2 Resp: pi2(e-1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral dupla integral duplaR e^x^2+y^2 , dy , dx, onde a região R é um semicírculo limitado pelo eixo x e pela curva y= raiz1-x^2. Isso envolve cálculo de integrais duplas e, pra facilitar, vamos usar coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos mudar para coordenadas polares porque a região R é um semicírculo. Nas coordenadas polares, qualquer ponto (x, y) é representado por (r costheta, r sintheta), e a área diferencial dx , dy vira r , dr , dtheta.

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração. Como R é um semicírculo de raio 1, r vai de 0 a 1. E como é a parte de cima do círculo, o ângulo theta vai de 0 a pi (180 graus).

Passo 4

A integral fica assim:
integral0^pi integral0^1 e^r^2 cdot r , dr , dtheta
Vamos resolver a parte interna primeiro, que é em relação a r. Fazemos uma substituição: seja u = r^2, então du = 2r , dr ou r , dr = du2. A integral interna fica:
integral0^1 e^u cdot du2 = 12(e^1 - e^0) = e - 12

Passo 5

Agora, integraremos o resultado em relação a theta:
integral0^pi e - 12 , dtheta = e - 12 cdot pi = pi2(e - 1)

Resposta

pi2(e - 1)

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