Calcule
onde R é a região semi-circular limitada pelo eixo
e pela curva
Resp:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral dupla
, onde a região R é um semicírculo limitado pelo eixo
e pela curva
. Isso envolve cálculo de integrais duplas e, pra facilitar, vamos usar coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos mudar para coordenadas polares porque a região R é um semicírculo. Nas coordenadas polares, qualquer ponto
é representado por
, e a área diferencial
vira
.
Passo 3
Agora, vamos definir os limites de integração. Como R é um semicírculo de raio 1,
vai de 0 a 1. E como é a parte de cima do círculo, o ângulo
vai de 0 a
(180 graus).
Passo 4
A integral fica assim:
Vamos resolver a parte interna primeiro, que é em relação a
. Fazemos uma substituição: seja
, então
ou
. A integral interna fica:
Passo 5
Agora, integraremos o resultado em relação a
:
Resposta
Exercícios relacionados
Verifique se as séries a seguir convergem ou divergem. Justifique sua resposta.
Verifique se cada uma das séries abaixo converge ou diverge. Em caso de convergir, determine sua soma.
Calcule a integral dupla utilizando coordenadas polares:
. Resp:
Explique por que a funçio é diferenciável no ponto dado. A scguir, encontre a lineari zaçio
da funçio naquele ponto
(1)
b)
(1)
b)