Calcule onde R é a região semi-circular limitada pelo eixo e pela curva Resp:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral dupla , onde a região R é um semicírculo limitado pelo eixo e pela curva . Isso envolve cálculo de integrais duplas e, pra facilitar, vamos usar coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos mudar para coordenadas polares porque a região R é um semicírculo. Nas coordenadas polares, qualquer ponto é representado por , e a área diferencial vira .

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração. Como R é um semicírculo de raio 1, vai de 0 a 1. E como é a parte de cima do círculo, o ângulo vai de 0 a (180 graus).

Passo 4

A integral fica assim:
Vamos resolver a parte interna primeiro, que é em relação a . Fazemos uma substituição: seja , então ou . A integral interna fica:

Passo 5

Agora, integraremos o resultado em relação a :

Resposta

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Verifique se as séries a seguir convergem ou divergem. Justifique sua resposta.
Verifique se cada uma das séries abaixo converge ou diverge. Em caso de convergir, determine sua soma.
Calcule a integral dupla utilizando coordenadas polares:
. Resp:
Explique por que a funçio é diferenciável no ponto dado. A scguir, encontre a lineari zaçio da funçio naquele ponto
(1)
b)