Explique por que a funçio é diferenciável no ponto dado. A scguir, encontre a lineari zaçio da funçio naquele ponto
(1)
b)

Passo 1

Vamos resolver a parte (a) do exercício. A questão pede para explicar por que a função é diferenciável no ponto (3, 0) e, em seguida, encontrar a linearização dessa função nesse ponto. Vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e linearização de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é diferenciável no ponto dado. Para isso, precisamos garantir que as derivadas parciais de em relação a e existem e são contínuas próximo ao ponto (3, 0).

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
No ponto (3, 0):
Ambas as derivadas existem e são contínuas perto de (3, 0), então a função é diferenciável nesse ponto.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a linearização da função no ponto (3, 0). A fórmula para a linearização é:
Onde .

Passo 5

Calculando :
Substituindo os valores na fórmula da linearização:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos resolver a parte (b) do exercício. A função dada é no ponto (0, 3). Precisamos explicar por que essa função é diferenciável nesse ponto e encontrar sua linearização .

Passo 7

Primeiro, vamos verificar a diferenciabilidade da função no ponto (0, 3). Para isso, devemos calcular as derivadas parciais em relação a e e verificar sua continuidade próximo a (0, 3).

Passo 8

Calculando as derivadas parciais:
No ponto (0, 3):
As derivadas existem e são contínuas perto de (0, 3), então a função é diferenciável nesse ponto.

Passo 9

Agora, vamos encontrar a linearização da função no ponto (0, 3). Usamos a fórmula da linearização:
Onde .

Passo 10

Calculando :
Substituindo os valores na fórmula da linearização:
Simplificando:

Resposta

A linearização da função no ponto (0, 3) é:

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. Resp:
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