Explique por que a funçio é diferenciável no ponto dado. A scguir, encontre a lineari zaçio
da funçio naquele ponto
(1)
b)
(1)
b)
Passo 1
Vamos resolver a parte (a) do exercício. A questão pede para explicar por que a função
é diferenciável no ponto (3, 0) e, em seguida, encontrar a linearização
dessa função nesse ponto. Vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e linearização de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função é diferenciável no ponto dado. Para isso, precisamos garantir que as derivadas parciais de
em relação a
e
existem e são contínuas próximo ao ponto (3, 0).
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
No ponto (3, 0):
Ambas as derivadas existem e são contínuas perto de (3, 0), então a função é diferenciável nesse ponto.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a linearização
da função no ponto (3, 0). A fórmula para a linearização é:
Onde
.
Passo 5
Calculando
:
Substituindo os valores na fórmula da linearização:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos resolver a parte (b) do exercício. A função dada é no ponto (0, 3). Precisamos explicar por que essa função é diferenciável nesse ponto e encontrar sua linearização
.
Passo 7
Primeiro, vamos verificar a diferenciabilidade da função no ponto (0, 3). Para isso, devemos calcular as derivadas parciais em relação a
e
e verificar sua continuidade próximo a (0, 3).
Passo 8
Calculando as derivadas parciais:
No ponto (0, 3):
As derivadas existem e são contínuas perto de (0, 3), então a função é diferenciável nesse ponto.
Passo 9
Agora, vamos encontrar a linearização
da função no ponto (0, 3). Usamos a fórmula da linearização:
Onde
.
Passo 10
Calculando
:
Substituindo os valores na fórmula da linearização:
Simplificando:
Resposta
A linearização da função no ponto (0, 3) é:
Exercícios relacionados
Calcule a integral dupla utilizando coordenadas polares:
. Resp:
Calcule
onde R é a região semi-circular limitada pelo eixo
e pela curva
Resp:
Verifique se as funções são homogêneas e, caso afirmativo, determine o grau:
Resolva as equações abaixo: