Verifique se as séries a seguir convergem ou divergem. Justifique sua resposta. sumn=1^infty (-1)^n+1 n^2n^3+4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série sumn=1^infty (-1)^n+1 n^2n^3+4 converge ou diverge. Isso está dentro do conteúdo de séries infinitas e mais especificamente das séries alternadas. Para resolver, vamos precisar entender os critérios de convergência, especialmente o Teste da Série Alternada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da série. Temos uma série alternada porque o termo (-1)^n+1 faz os sinais dos termos alternarem entre positivo e negativo. O termo geral da série é an = n^2n^3+4.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Série Alternada, que diz que uma série alternada sum (-1)^n bn converge se duas condições forem verdadeiras:
  1. Os termos bn são decrescentes: bn+1 <= bn para todo n.
  2. O limite dos termos bn tende a zero: limn to infty bn = 0.

Passo 4

Vamos verificar a primeira condição. Vamos ver se bn = n^2n^3+4 é decrescente. Observando a função, conforme n aumenta, o denominador cresce mais rapidamente que o numerador (já que n^3 cresce mais rápido que n^2), então os termos estão diminuindo. Portanto, a primeira condição é satisfeita.

Passo 5

Agora, a segunda condição: limn to infty n^2n^3+4. Vamos calcular esse limite:
limn to infty n^2n^3+4 = limn to infty 1n + 4n^2 = 0
Como o limite é zero, a segunda condição também é satisfeita.

Resposta

Como ambas as condições do Teste da Série Alternada são atendidas, a série sumn=1^infty (-1)^n+1 n^2n^3+4 converge.

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