Verifique se as séries a seguir convergem ou divergem. Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série converge ou diverge. Isso está dentro do conteúdo de séries infinitas e mais especificamente das séries alternadas. Para resolver, vamos precisar entender os critérios de convergência, especialmente o Teste da Série Alternada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da série. Temos uma série alternada porque o termo faz os sinais dos termos alternarem entre positivo e negativo. O termo geral da série é .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Série Alternada, que diz que uma série alternada converge se duas condições forem verdadeiras:
  1. Os termos são decrescentes: para todo .
  2. O limite dos termos tende a zero: .

Passo 4

Vamos verificar a primeira condição. Vamos ver se é decrescente. Observando a função, conforme aumenta, o denominador cresce mais rapidamente que o numerador (já que cresce mais rápido que ), então os termos estão diminuindo. Portanto, a primeira condição é satisfeita.

Passo 5

Agora, a segunda condição: . Vamos calcular esse limite:
Como o limite é zero, a segunda condição também é satisfeita.

Resposta

Como ambas as condições do Teste da Série Alternada são atendidas, a série converge.

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. Resp: