Verifique se as séries a seguir convergem ou divergem. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série
converge ou diverge. Isso está dentro do conteúdo de séries infinitas e mais especificamente das séries alternadas. Para resolver, vamos precisar entender os critérios de convergência, especialmente o Teste da Série Alternada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da série. Temos uma série alternada porque o termo
faz os sinais dos termos alternarem entre positivo e negativo. O termo geral da série é
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Série Alternada, que diz que uma série alternada
converge se duas condições forem verdadeiras:
- Os termos
são decrescentes: para todo . - O limite dos termos
tende a zero: .
Passo 4
Vamos verificar a primeira condição. Vamos ver se
é decrescente. Observando a função, conforme
aumenta, o denominador cresce mais rapidamente que o numerador (já que
cresce mais rápido que
), então os termos estão diminuindo. Portanto, a primeira condição é satisfeita.
Passo 5
Agora, a segunda condição:
. Vamos calcular esse limite:
Como o limite é zero, a segunda condição também é satisfeita.
Resposta
Como ambas as condições do Teste da Série Alternada são atendidas, a série
converge.