Mostre que a função dada y1 é solução da respectiva equação diferencial dada. Depois, use o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução y2 de tal modo que y1 e y2 formem um conjunto fundamental de soluções.
b. t^2 y'' + 2 t y' - 2 y = 0, t > 0,
y1(t) = t,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a função é solução da equação diferencial dada:
Depois, precisamos usar o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução que, junto com , forme um conjunto fundamental de soluções. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem e métodos para encontrar soluções quando já conhecemos uma delas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se realmente é uma solução da equação diferencial dada. Para isso, precisamos calcular as derivadas de e substituir na equação.
A primeira derivada de é:
A segunda derivada é:
Agora, substituímos , e na equação diferencial:
Como a equação se iguala a zero, é realmente uma solução da equação diferencial.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma segunda solução usando o método de redução de ordem. Esse método é útil quando já conhecemos uma solução particular da equação diferencial homogênea e queremos encontrar outra solução linearmente independente.
A equação diferencial dada é:
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão dividindo todos os termos por :
Aqui, e .
Sabendo que já temos uma solução , supomos que a segunda solução seja da forma , onde é uma função que precisamos determinar.
Vamos calcular as derivadas de :
Substituindo , e na equação diferencial:
Simplificando:
Podemos dividir toda a equação por (já que ) para simplificar:
Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem para . Vamos chamar , então temos:
Essa equação pode ser resolvida usando fator integrante. Dividindo toda a equação por :
O fator integrante é:
Multiplicando a equação pelo fator integrante:
Integrando ambos os lados:
Lembre-se que , então:
Integrando novamente para encontrar :
Considerando apenas a parte particular, podemos desconsiderar a constante (pois vai se anular na solução geral), então temos:
Agora, substituímos na expressão de :
Para simplificar, podemos escolher , então:

Resposta

A segunda solução encontrada é . Portanto, e formam um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial dada.

Exercícios relacionados