Mostre que a função dada
é solução da respectiva equação diferencial dada. Depois, use o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução
de tal modo que
e
formem um conjunto fundamental de soluções.
b.
,
,
b.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a função
é solução da equação diferencial dada:
Depois, precisamos usar o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução
que, junto com
, forme um conjunto fundamental de soluções. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem e métodos para encontrar soluções quando já conhecemos uma delas.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
realmente é uma solução da equação diferencial dada. Para isso, precisamos calcular as derivadas de
e substituir na equação.
A primeira derivada de
é:
A segunda derivada é:
Agora, substituímos
,
e
na equação diferencial:
Como a equação se iguala a zero,
é realmente uma solução da equação diferencial.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma segunda solução
usando o método de redução de ordem. Esse método é útil quando já conhecemos uma solução particular da equação diferencial homogênea e queremos encontrar outra solução linearmente independente.
A equação diferencial dada é:
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão dividindo todos os termos por
:
Aqui,
e
.
Sabendo que já temos uma solução
, supomos que a segunda solução seja da forma
, onde
é uma função que precisamos determinar.
Vamos calcular as derivadas de
:
Substituindo
,
e
na equação diferencial:
Simplificando:
Podemos dividir toda a equação por
(já que
) para simplificar:
Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem para
. Vamos chamar
, então temos:
Essa equação pode ser resolvida usando fator integrante. Dividindo toda a equação por
:
O fator integrante
é:
Multiplicando a equação pelo fator integrante:
Integrando ambos os lados:
Lembre-se que
, então:
Integrando novamente para encontrar
:
Considerando apenas a parte particular, podemos desconsiderar a constante
(pois vai se anular na solução geral), então temos:
Agora, substituímos
na expressão de
:
Para simplificar, podemos escolher
, então:
Resposta
A segunda solução encontrada é
. Portanto,
e
formam um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial dada.